Номер 2, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Теорема Птоломея. Когда сделаны уроки. Глава 2. Подобие треугольников - номер 2, страница 103.

Условие 2023.

2. На окружности отмечены точки A, B, C, D так, что $\cup AB = \cup BC = \cup CD$. Докажите, что $AC^2 = AB \cdot (BC + AD)$.

Решение 6 (2023).

По условию задачи на окружности отмечены точки A, B, C, D так, что равны дуги, на которые они разбивают часть окружности: $◡AB = ◡BC = ◡CD$.

Из основного свойства окружности следует, что равные дуги стягиваются равными хордами. Таким образом, из равенства дуг вытекает равенство длин хорд, их стягивающих: $AB = BC = CD$.

Рассмотрим диагонали четырехугольника AC и BD. Диагональ AC стягивает дугу ◡AC, равную сумме дуг $◡AB + ◡BC$. Диагональ BD стягивает дугу ◡BD, равную сумме дуг $◡BC + ◡CD$. Так как по условию $◡AB = ◡CD$, то и дуги, стягиваемые диагоналями, равны: $◡AC = ◡AB + ◡BC = ◡CD + ◡BC = ◡BD$. Следовательно, равны и сами диагонали: $AC = BD$.

Поскольку все четыре точки лежат на одной окружности, четырехугольник ABCD является вписанным. Для любого вписанного четырехугольника справедлива теорема Птолемея, которая гласит, что произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противолежащих сторон: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$.

Подставим в формулу теоремы Птолемея выведенные нами ранее равенства. Заменим $BD$ на $AC$ (так как $AC = BD$), а $CD$ на $AB$ (так как $CD = AB$): $AC \cdot AC = AB \cdot AB + BC \cdot AD$ $AC^2 = AB^2 + BC \cdot AD$.

Теперь преобразуем полученное выражение, используя равенство $AB = BC$. Мы можем заменить $AB^2$ на $AB \cdot BC$, а $BC \cdot AD$ на $AB \cdot AD$. Однако, более прямой путь — это преобразовать правую часть доказываемого тождества. Рассмотрим выражение $AB \cdot (BC + AD)$. $AB \cdot (BC + AD) = AB \cdot BC + AB \cdot AD$. Сравним это с полученным нами из теоремы Птолемея: $AC^2 = AB^2 + BC \cdot AD$. Поскольку $AB=BC$, то $AB \cdot BC = AB^2$ и $AB \cdot AD = BC \cdot AD$. Подставив это, мы видим, что $AB \cdot BC + AB \cdot AD = AB^2 + BC \cdot AD$, что доказывает равенство.

Проведем доказательство более изящным способом. В выражении $AC^2 = AB^2 + BC \cdot AD$ заменим $BC$ на $AB$: $AC^2 = AB^2 + AB \cdot AD$. Вынесем общий множитель $AB$ за скобки: $AC^2 = AB \cdot (AB + AD)$. Наконец, в полученном равенстве заменим $AB$ внутри скобок на равную ему величину $BC$: $AC^2 = AB \cdot (BC + AD)$. Это и есть тождество, которое требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC^2 = AB \cdot (BC + AD)$ доказано.

Условие 2015-2022.

2. На окружности отмечены точки A, B, C, D так, что $ \cup AB = \cup BC = \cup CD $. Докажите, что $AC^2 = AB \cdot (BC + AD)$.

Решение 1 (2015-2022).