Номер 499, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 499, страница 106.

Условие 2023.

499. Из деревянных палочек изготовили три подобных разносторонних треугольника. В каждом из них большую сторону покрасили в синий цвет, а меньшую — в жёлтый. Из синих палочек составили один треугольник, а из жёлтых — второй. Будут ли эти треугольники подобны?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Да, эти треугольники будут подобны. Приведем развернутое доказательство этого утверждения.

Пусть стороны первого из трех исходных подобных разносторонних треугольников равны $a_1$, $b_1$ и $c_1$. Поскольку треугольник разносторонний, все его стороны имеют разную длину. Упорядочим их по убыванию: $a_1 > b_1 > c_1$.

Согласно условию задачи, в каждом треугольнике самая большая сторона окрашена в синий цвет, а самая меньшая — в жёлтый. Таким образом, для первого треугольника длина синей палочки составляет $a_1$, а длина жёлтой палочки — $c_1$.

Два других исходных треугольника подобны первому. Пусть коэффициент подобия второго треугольника по отношению к первому равен $k_2$, а третьего — $k_3$. Тогда стороны второго треугольника равны $a_2 = k_2 a_1$, $b_2 = k_2 b_1$, $c_2 = k_2 c_1$. Так как подобие сохраняет отношение длин, то $a_2$ — наибольшая сторона, а $c_2$ — наименьшая. Следовательно, длина синей палочки второго треугольника — $a_2$, а жёлтой — $c_2$.

Аналогично для третьего треугольника: его стороны равны $a_3 = k_3 a_1$, $b_3 = k_3 b_1$, $c_3 = k_3 c_1$. Наибольшая сторона — $a_3$ (синяя), а наименьшая — $c_3$ (жёлтая).

Из синих палочек составили один треугольник. Его стороны имеют длины $a_1, a_2, a_3$.

Из жёлтых палочек составили второй треугольник. Его стороны имеют длины $c_1, c_2, c_3$.

Для того чтобы определить, будут ли эти два новых треугольника подобны, необходимо проверить, пропорциональны ли их соответственные стороны. Найдем отношения длин сторон "синего" треугольника к сторонам "жёлтого" треугольника.

Рассмотрим отношения длин соответственных сторон:
Первая пара: $\frac{a_1}{c_1}$
Вторая пара: $\frac{a_2}{c_2} = \frac{k_2 a_1}{k_2 c_1} = \frac{a_1}{c_1}$
Третья пара: $\frac{a_3}{c_3} = \frac{k_3 a_1}{k_3 c_1} = \frac{a_1}{c_1}$

Как мы видим, все три отношения равны одной и той же величине: $$ \frac{a_1}{c_1} = \frac{a_2}{c_2} = \frac{a_3}{c_3} $$

Это означает, что стороны треугольника, составленного из синих палочек, пропорциональны сторонам треугольника, составленного из жёлтых палочек. По третьему признаку подобия треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Ответ: Да, эти треугольники будут подобны.

Условие 2015-2022.

499. Из деревянных палочек изготовили три подобных разносторонних треугольника. В каждом из них большую сторону покрасили в синий цвет, а меньшую – в жёлтый. Из синих палочек составили один треугольник, а из жёлтых – второй. Будут ли эти треугольники подобны?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).