Номер 501, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 501, страница 106.

Условие 2023.

501. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $AC = 16$ см. На стороне $AC$ отметили точку $D$ так, что $CD = 9$ см. Найдите отрезок $BD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. План решения следующий:
1. В треугольнике ABC, используя теорему косинусов и зная длины всех трех сторон, найдем косинус угла C.
2. В треугольнике BDC нам будут известны две стороны (BC и CD) и угол между ними (угол C). Используя теорему косинусов, найдем длину третьей стороны BD.

1. Нахождение косинуса угла C в треугольнике ABC.
По теореме косинусов для треугольника ABC:
$AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(C)$
Подставим известные значения сторон: $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $AC = 16$ см.
$8^2 = 12^2 + 16^2 - 2 \cdot 12 \cdot 16 \cdot \cos(C)$
$64 = 144 + 256 - 384 \cos(C)$
$64 = 400 - 384 \cos(C)$
Перенесем слагаемые, чтобы выразить $\cos(C)$:
$384 \cos(C) = 400 - 64$
$384 \cos(C) = 336$
$\cos(C) = \frac{336}{384}$
Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 48:
$\cos(C) = \frac{336 \div 48}{384 \div 48} = \frac{7}{8}$

2. Нахождение длины отрезка BD в треугольнике BDC.
Теперь рассмотрим треугольник BDC. Нам известны длины двух его сторон ($BC = 12$ см, $CD = 9$ см) и косинус угла между ними ($\cos(C) = \frac{7}{8}$).
Применим теорему косинусов для треугольника BDC, чтобы найти сторону BD:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(C)$
Подставим известные значения:
$BD^2 = 12^2 + 9^2 - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \frac{7}{8}$
$BD^2 = 144 + 81 - 216 \cdot \frac{7}{8}$
$BD^2 = 225 - (216 \div 8) \cdot 7$
$BD^2 = 225 - 27 \cdot 7$
$BD^2 = 225 - 189$
$BD^2 = 36$
$BD = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

Условие 2015-2022.

501. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $AC = 16$ см.

На стороне $AC$ отметили точку $D$ так, что $CD = 9$ см. Найдите отрезок $BD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).