Номер 2, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Когда сделаны уроки. Глава 2. Подобие треугольников - номер 2, страница 110.

Условие 2023.

2. Постройте треугольник $ABC$ по трём данным точкам: вершине $A$, ортоцентру $H$ и центру $O$ описанной окружности.

Решение 6 (2023).

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами ортоцентра, центра описанной окружности и прямой Эйлера, а также одним из ключевых соотношений в геометрии треугольника.

Анализ

Пусть дан треугольник $ABC$, его ортоцентр $H$ и центр описанной окружности $O$. Описанная окружность $\omega$ проходит через все три вершины треугольника, ее центр находится в точке $O$, а радиус $R$ равен длине отрезка $OA$ (а также $OB$ и $OC$).

Ключевым для построения является следующее свойство: точка $A'$, симметричная ортоцентру $H$ относительно середины $M_a$ стороны $BC$, лежит на описанной окружности и является диаметрально противоположной вершине $A$.

Докажем это свойство. Пусть начало координат находится в центре описанной окружности $O$. Тогда для векторов, проведенных из $O$, справедливы следующие равенства:

• Положение вершин: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.
• Положение ортоцентра (формула Гамильтона): $\vec{h} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
• Положение середины $M_a$ стороны $BC$: $\vec{m_a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.

Пусть точка $A''$ — это точка, симметричная $H$ относительно $M_a$. Тогда $M_a$ — середина отрезка $HA''$. Для ее вектора $\vec{a''}$ выполняется:$\vec{m_a} = \frac{\vec{h} + \vec{a''}}{2}$.Отсюда $\vec{a''} = 2\vec{m_a} - \vec{h} = 2\left(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}\right) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = (\vec{b} + \vec{c}) - \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} = -\vec{a}$.Вектор $-\vec{a}$ соответствует точке $A'$, которая диаметрально противоположна точке $A$ на описанной окружности (так как $\vec{OA'} = -\vec{OA}$). Таким образом, свойство доказано: точка, симметричная ортоцентру $H$ относительно середины стороны $BC$, совпадает с точкой $A'$, диаметрально противоположной вершине $A$.Из этого следует, что середина стороны $BC$ — это середина отрезка $HA'$.

Также нам известно, что высота, опущенная из вершины $A$, проходит через ортоцентр $H$, и эта высота перпендикулярна стороне $BC$.

На основе этих фактов можно составить следующий план построения.

Построение

1. Построим описанную окружность $\omega$ треугольника. Ее центр — данная точка $O$, а радиус $R$ равен расстоянию $OA$. Для этого проводим окружность с центром в $O$, проходящую через $A$.
2. Найдем точку $A'$, диаметрально противоположную вершине $A$. Для этого проведем прямую через точки $A$ и $O$. Точка пересечения этой прямой с окружностью $\omega$, отличная от $A$, и будет точкой $A'$.
3. Найдем середину $M_a$ стороны $BC$. Согласно доказанному выше свойству, $M_a$ является серединой отрезка, соединяющего ортоцентр $H$ и точку $A'$. Строим отрезок $HA'$ и находим его середину (например, с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр).
4. Построим прямую, на которой лежит сторона $BC$. Эта прямая проходит через точку $M_a$ и перпендикулярна высоте, опущенной из вершины $A$. Так как высота проходит через $A$ и $H$, то искомая прямая $l$ проходит через $M_a$ перпендикулярно прямой $AH$. Строим прямую $AH$, а затем проводим через $M_a$ прямую $l \perp AH$.
5. Найдем вершины $B$ и $C$. Эти вершины являются точками пересечения прямой $l$ (содержащей сторону $BC$) и описанной окружности $\omega$. Находим точки пересечения $B$ и $C$.
6. Соединив точки $A, B$ и $C$, получаем искомый треугольник $ABC$.

Доказательство корректности

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ действительно имеет вершину $A$, ортоцентр $H$ и центр описанной окружности $O$.

• Вершина $A$ — исходная.
• Точки $A, B, C$ по построению лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $OA$. Следовательно, $O$ — центр описанной окружности.
• Прямая $BC$ по построению перпендикулярна прямой $AH$. Это означает, что высота из вершины $A$ лежит на прямой $AH$.
• Точка $M_a$ по построению является серединой хорды $BC$. Также по построению $M_a$ является серединой отрезка $HA'$. Как было показано в анализе, это условие $(\vec{m_a} = \frac{\vec{h}+\vec{a'}}{2})$ эквивалентно фундаментальному соотношению $\vec{AH} = 2\vec{OM_a}$. Это соотношение вместе с тем, что высота из $A$ лежит на $AH$, гарантирует, что $H$ является ортоцентром треугольника $ABC$.

Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:Построение выполняется в следующем порядке:
1. Строится окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OA$.
2. На окружности $\omega$ находится точка $A'$, диаметрально противоположная точке $A$ (вторая точка пересечения прямой $AO$ с окружностью).
3. Строится отрезок $HA'$ и находится его середина — точка $M_a$.
4. Через точку $M_a$ проводится прямая $l$, перпендикулярная прямой $AH$.
5. Точки пересечения прямой $l$ и окружности $\omega$ являются искомыми вершинами $B$ и $C$.
6. Треугольник $ABC$ является искомым.

Условие 2015-2022.

2. Постройте треугольник ABC по трём данным точкам: вершине $A$, ортоцентру $H$ и центру $O$ описанной окружности.

Решение 1 (2015-2022).