Номер 5, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 2. Подобие треугольников - номер 5, страница 111.

Условие 2023.

5. Через точку $M$ стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, параллельная стороне $CD$. Эта прямая пересекает отрезки $BD$ и $AD$ в точках $K$ и $F$ соответственно. Известно, что $BM : FD = 2 : 1$. Чему равно отношение $KD : BK$?

А) $2 : 1$

Б) $1 : 2$

В) $1 : 3$

Г) $4 : 1$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Точка $M$ лежит на стороне $BC$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $CD$. Обозначим эту прямую как $l$. Так как в параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то $CD \parallel AB$. Следовательно, прямая $l$ также параллельна стороне $AB$, то есть $l \parallel CD \parallel AB$.

Прямая $l$ пересекает сторону $AD$ в точке $F$ и диагональ $BD$ в точке $K$. Таким образом, точки $F$, $K$ и $M$ лежат на одной прямой $l$, и отрезок $FM$ параллелен сторонам $AB$ и $CD$.

Рассмотрим треугольник $DAB$. Прямая $FK$ (часть прямой $l$) параллельна стороне $AB$ и пересекает две другие стороны треугольника, $DA$ и $DB$, в точках $F$ и $K$ соответственно. По теореме о подобных треугольниках, треугольник $DFK$ подобен треугольнику $DAB$ ($\triangle DFK \sim \triangle DAB$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:$$ \frac{KD}{BD} = \frac{FD}{AD} $$

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Прямая $KM$ (часть прямой $l$) параллельна стороне $CD$ и пересекает две другие стороны треугольника, $BC$ и $BD$, в точках $M$ и $K$ соответственно. Следовательно, треугольник $BKM$ подобен треугольнику $BCD$ ($\triangle BKM \sim \triangle BCD$).

Из этого подобия следует пропорциональность сторон:$$ \frac{BK}{BD} = \frac{BM}{BC} $$

Из полученных пропорций выразим длины отрезков $KD$ и $BK$:$$ KD = BD \cdot \frac{FD}{AD} $$$$ BK = BD \cdot \frac{BM}{BC} $$

Найдем искомое отношение $KD : BK$, разделив одно выражение на другое:$$ \frac{KD}{BK} = \frac{BD \cdot \frac{FD}{AD}}{BD \cdot \frac{BM}{BC}} = \frac{\frac{FD}{AD}}{\frac{BM}{BC}} = \frac{FD}{AD} \cdot \frac{BC}{BM} $$

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны, то есть $AD = BC$. Подставим это равенство в наше выражение:$$ \frac{KD}{BK} = \frac{FD}{AD} \cdot \frac{AD}{BM} = \frac{FD}{BM} $$

По условию задачи дано отношение $BM : FD = 2 : 1$, что означает $\frac{BM}{FD} = 2$.Тогда обратное отношение равно $\frac{FD}{BM} = \frac{1}{2}$.

Следовательно,$$ \frac{KD}{BK} = \frac{1}{2} $$Это означает, что отношение $KD : BK = 1 : 2$.

Ответ: 1 : 2

Условие 2015-2022.

5. Через точку $M$ стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, параллельная стороне $CD$. Эта прямая пересекает отрезки $BD$ и $AD$ в точках $K$ и $F$ соответственно. Известно, что $BM : FD = 2 : 1$. Чему равно отношение $KD : BK$?

А) $2 : 1$

Б) $1 : 2$

В) $1 : 3$

Г) $4 : 1$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).