Номер 1, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 1, страница 115.

Условие 2023.

1. Какой формулой связаны высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, и проекции катетов на гипотенузу?

Решение 6 (2023).

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, связана с проекциями катетов на гипотенузу через свойство среднего пропорционального (или среднего геометрического). Это одна из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике.

Сформулируем теорему: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Рассмотрим доказательство. Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Проведём высоту $CD$ к гипотенузе $AB$.

• $h_c = CD$ — высота, проведённая к гипотенузе.
• $a_c = DB$ — проекция катета $BC$ на гипотенузу $AB$.
• $b_c = AD$ — проекция катета $AC$ на гипотенузу $AB$.

Высота $CD$ делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $ADC$ и $CDB$.

Докажем, что эти треугольники подобны ($△ADC ∼ △CDB$):

1. $∠ADC = ∠CDB = 90°$, так как $CD$ — высота.
2. Пусть $∠A = α$. Тогда в треугольнике $ADC$, $∠ACD = 90° - α$.
3. Так как $∠ACB = 90°$, то $∠BCD = ∠ACB - ∠ACD = 90° - (90° - α) = α$.
4. Таким образом, $∠A = ∠BCD = α$.

Поскольку у треугольников $ADC$ и $CDB$ есть по два равных угла (прямой угол и угол $α$), они подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон. Стороны, лежащие напротив равных углов, являются соответственными:

$ \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB} $

Где $AD$ и $CD$ — катеты в $△ADC$, а $CD$ и $DB$ — катеты в $△CDB$.

Подставляя наши обозначения, получаем:

$ \frac{b_c}{h_c} = \frac{h_c}{a_c} $

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем формулу:

$h_c^2 = a_c \cdot b_c$

Это и есть искомая формула. Она означает, что квадрат высоты, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

Ответ: $h_c^2 = a_c \cdot b_c$, где $h_c$ — высота, проведённая к гипотенузе, а $a_c$ и $b_c$ — проекции катетов на гипотенузу.

Условие 2015-2022.

1. Какой формулой связаны высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, и проекции катетов на гипотенузу?