Номер 514, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 514, страница 116.

Условие 2023.

514. Найдите катеты прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 3 см меньше этой высоты, а другой – на 4 см больше высоты.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник. Обозначим длину высоты, проведенной к гипотенузе, как $h$.

По условию задачи, эта высота делит гипотенузу на два отрезка. Обозначим их длины как $c_1$ и $c_2$. Известно, что один отрезок на 3 см меньше высоты, а другой — на 4 см больше высоты. Запишем это в виде выражений:
$c_1 = h - 3$
$c_2 = h + 4$

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков, на которые она делит гипотенузу. Это свойство выражается формулой:
$h^2 = c_1 \cdot c_2$

Подставим выражения для $c_1$ и $c_2$ в эту формулу и решим полученное уравнение относительно $h$:
$h^2 = (h - 3)(h + 4)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$h^2 = h^2 + 4h - 3h - 12$
Упростим выражение:
$h^2 = h^2 + h - 12$
Вычтем $h^2$ из обеих частей уравнения:
$0 = h - 12$
Отсюда находим высоту:
$h = 12$ см.

Теперь, зная высоту $h$, мы можем найти длины отрезков гипотенузы $c_1$ и $c_2$:
$c_1 = 12 - 3 = 9$ см.
$c_2 = 12 + 4 = 16$ см.

Длина всей гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:
$c = c_1 + c_2 = 9 + 16 = 25$ см.

Для нахождения катетов (обозначим их $a$ и $b$) воспользуемся свойством, что катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Для катета $a$, проекцией которого является отрезок $c_1$:
$a^2 = c \cdot c_1$
$a^2 = 25 \cdot 9 = 225$
$a = \sqrt{225} = 15$ см.

Для катета $b$, проекцией которого является отрезок $c_2$:
$b^2 = c \cdot c_2$
$b^2 = 25 \cdot 16 = 400$
$b = \sqrt{400} = 20$ см.

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см.

Ответ: катеты равны 15 см и 20 см.

Условие 2015-2022.

514. Найдите катеты прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 3 см меньше этой высоты, а другой – на 4 см больше высоты.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).