Номер 519, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 519, страница 116.

Условие 2023.

519. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, принадлежит её большему основанию. Найдите радиус этой окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а проекция диагонали на большее основание – 16 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание. Поскольку центр описанной окружности лежит на основании $AD$, то $AD$ является диаметром этой окружности.

Рассмотрим треугольник $ACD$, который вписан в окружность. Так как его сторона $AD$ является диаметром, угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ACD$ — прямоугольный, где $AD$ — гипотенуза, а $AC$ — катет.

По условию, диагональ трапеции равна 20 см, то есть $AC = 20$ см.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на гипотенузу $AD$. Отрезок $AH$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу $AD$. По условию, длина этой проекции равна 16 см, то есть $AH = 16$ см.

Для прямоугольного треугольника справедливо метрическое соотношение: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Запишем это для треугольника $ACD$: $AC^2 = AD \cdot AH$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину гипотенузы $AD$: $20^2 = AD \cdot 16$
$400 = 16 \cdot AD$
$AD = \frac{400}{16} = 25$ см.

Так как $AD$ — это диаметр окружности, то ее радиус $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{AD}{2} = \frac{25}{2} = 12,5$ см.

Ответ: 12,5 см.

Условие 2015-2022.

519. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, принадлежит её большему основанию. Найдите радиус этой окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а проекция диагонали на большее основание – 16 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).