Номер 523, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 523, страница 116.

Условие 2023.

523. В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 27 см. Найдите высоту трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной $a = 3$ см и $b = 27$ см.

Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности. Обозначим высоту трапеции как $h$, а радиус вписанной окружности как $r$. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса вписанной окружности, так как $h = 2r$.

Рассмотрим боковую сторону трапеции, например, $AB$, и центр вписанной окружности $O$. Соединим центр $O$ с вершинами $A$ и $B$, прилежащими к этой стороне.

Центр вписанной в многоугольник окружности является точкой пересечения биссектрис его углов. Следовательно, отрезки $AO$ и $BO$ являются биссектрисами углов $\angle A$ и $\angle B$ трапеции соответственно.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. То есть, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABO$. Сумма углов $\angle OAB$ и $\angle OBA$ в этом треугольнике равна:

$\angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Поскольку сумма двух углов в треугольнике $ABO$ равна $90^\circ$, то третий угол $\angle AOB$ равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABO$ — прямоугольный.

Пусть $K$ — точка касания окружности со стороной $AB$. Отрезок $OK$ является радиусом, проведенным в точку касания, и, следовательно, перпендикулярен касательной $AB$. Таким образом, $OK$ — это высота прямоугольного треугольника $ABO$, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$.

По условию, точка $K$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AK = 27$ см и $KB = 3$ см.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$OK^2 = AK \cdot KB$

Подставим известные значения, чтобы найти радиус $r = OK$:

$r^2 = 27 \cdot 3 = 81$

$r = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь, зная радиус, мы можем найти высоту трапеции:

$h = 2r = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

Условие 2015-2022.

523. В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 27 см. Найдите высоту трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).