Номер 516, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 516, страница 116.

Условие 2023.

516. Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, равен 2 см и делит её на отрезки, относящиеся как $1:4$. Найдите диагонали ромба.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, пересекающимися в точке $O$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Из точки $O$ опустим перпендикуляр $OH$ на сторону $AB$. $OH$ является высотой прямоугольного треугольника $AOB$, проведенной к гипотенузе $AB$. По условию, длина этой высоты $OH = 2$ см.

Точка $H$ делит сторону $AB$ на отрезки $AH$ и $HB$, отношение которых равно $1:4$. Пусть $AH = x$, тогда $HB = 4x$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу. Для треугольника $AOB$ это свойство записывается как:

$OH^2 = AH \cdot HB$

Подставим известные значения в формулу:

$2^2 = x \cdot 4x$

$4 = 4x^2$

$x^2 = 1$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, $x = 1$ см.

Теперь мы можем найти длины отрезков $AH$ и $HB$:

$AH = x = 1$ см

$HB = 4x = 4 \cdot 1 = 4$ см

Катеты $AO$ и $BO$ треугольника $AOB$ являются половинами диагоналей ромба. Найдем их длины с помощью теоремы Пифагора из треугольников $AOH$ и $BOH$.

В прямоугольном треугольнике $AOH$:

$AO^2 = AH^2 + OH^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$AO = \sqrt{5}$ см

В прямоугольном треугольнике $BOH$:

$BO^2 = HB^2 + OH^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

$BO = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см

Теперь найдем полные длины диагоналей ромба $AC$ и $BD$:

$d_1 = AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ см

$d_2 = BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ см

Ответ: диагонали ромба равны $2\sqrt{5}$ см и $4\sqrt{5}$ см.

Условие 2015-2022.

516. Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, равен 2 см и делит её на отрезки, относящиеся как 1 : 4. Найдите диагонали ромба.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).