Номер 517, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 517, страница 116.

Условие 2023.

517. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых равен 4 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна 10 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть данная окружность имеет радиус $R$. Пусть $AB$ — её диаметр. Возьмём на окружности точку $C$ и опустим из неё перпендикуляр $CH$ на диаметр $AB$. По условию задачи, длина этого перпендикуляра $CH = 10$ см.

Перпендикуляр $CH$ делит диаметр $AB$ на два отрезка: $AH$ и $HB$. По условию, длина одного из них равна 4 см. Пусть, для определённости, $AH = 4$ см.

Соединим точку $C$ с концами диаметра $A$ и $B$. Получим треугольник $\triangle ABC$. Угол $\angle ACB$ является вписанным и опирается на диаметр $AB$, следовательно, он прямой ($\angle ACB = 90^\circ$). Таким образом, $\triangle ABC$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $CH$ является высотой, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе. Согласно свойству высоты в прямоугольном треугольнике (метрические соотношения), квадрат высоты равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$CH^2 = AH \cdot HB$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти длину второго отрезка $HB$:

$10^2 = 4 \cdot HB$

$100 = 4 \cdot HB$

$HB = \frac{100}{4} = 25$ см.

Теперь найдём длину диаметра $AB$, который является суммой длин отрезков $AH$ и $HB$:

$AB = AH + HB = 4 \text{ см} + 25 \text{ см} = 29$ см.

Радиус окружности $R$ равен половине её диаметра:

$R = \frac{AB}{2} = \frac{29}{2} = 14,5$ см.

Ответ: 14,5 см.

Условие 2015-2022.

517. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых равен 4 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна 10 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).