Номер 521, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 521, страница 116.

Условие 2023.

521. Найдите высоту равнобокой трапеции, если её диагональ перпендикулярна боковой стороне, а разность квадратов оснований равна 25.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $a = AD$ и $b = BC$ (где $a > b$), а высоту трапеции как $h$.

По условию задачи, диагональ (например, $AC$) перпендикулярна боковой стороне ($CD$). Следовательно, треугольник $\triangle ACD$ является прямоугольным, а его гипотенузой является большее основание $AD$.

Проведем из вершины C высоту $CH$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит ее на два отрезка. В нашем случае это отрезки $AH$ и $HD$.

Для равнобокой трапеции длины этих отрезков выражаются через основания следующим образом:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{a-b}{2}$
$AH = AD - HD = a - \frac{a-b}{2} = \frac{2a - a + b}{2} = \frac{a+b}{2}$

Согласно теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу:
$CH^2 = AH \cdot HD$

Подставим найденные выражения для $AH$ и $HD$ в эту формулу:
$h^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \left(\frac{a-b}{2}\right)$
$h^2 = \frac{(a+b)(a-b)}{4}$
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$h^2 = \frac{a^2 - b^2}{4}$

По условию задачи разность квадратов оснований равна 25, то есть $a^2 - b^2 = 25$. Подставим это значение в нашу формулу:
$h^2 = \frac{25}{4}$

Найдем значение высоты $h$:
$h = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: 2.5

Условие 2015-2022.

521. Найдите высоту равнобокой трапеции, если её диагональ перпендикулярна боковой стороне, а разность квадратов оснований равна $25 \text{ см}^2$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).