Номер 527, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 527, страница 117.

Условие 2023.

527. В окружность вписана трапеция, диагональ которой делит угол при большем основании пополам. Найдите дуги, на которые делят окружность вершины трапеции, если один из её углов равен $74^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, вписанная в окружность, с большим основанием $AD$ и меньшим основанием $BC$.

Поскольку трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. Это означает, что её боковые стороны равны ($AB = CD$), и углы при основаниях также равны. В условии сказано, что один из углов трапеции равен $74^\circ$. В равнобедренной трапеции углы при большем основании острые, а при меньшем — тупые, и сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, угол в $74^\circ$ — это острый угол при большем основании. Пусть $\angle DAB = \angle CDA = 74^\circ$.

По условию, диагональ, например $AC$, делит угол при большем основании пополам. Таким образом, она делит угол $\angle DAB$ на два равных угла: $\angle DAC = \angle CAB = \frac{\angle DAB}{2} = \frac{74^\circ}{2} = 37^\circ$.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Используя это свойство, найдем дуги, стягиваемые сторонами трапеции.

Угол $\angle CAB$ опирается на дугу $BC$. Следовательно, ее градусная мера равна: $\smile BC = 2 \cdot \angle CAB = 2 \cdot 37^\circ = 74^\circ$.

Угол $\angle DAC$ опирается на дугу $CD$. Следовательно, ее градусная мера равна: $\smile CD = 2 \cdot \angle DAC = 2 \cdot 37^\circ = 74^\circ$.

Поскольку трапеция равнобедренная, то хорды $AB$ и $CD$ равны, а значит, и стягиваемые ими дуги равны: $\smile AB = \smile CD = 74^\circ$.

Сумма всех дуг окружности составляет $360^\circ$. Чтобы найти последнюю дугу $AD$, вычтем из $360^\circ$ сумму уже найденных дуг: $\smile AD = 360^\circ - (\smile AB + \smile BC + \smile CD) = 360^\circ - (74^\circ + 74^\circ + 74^\circ) = 360^\circ - 222^\circ = 138^\circ$.

Ответ: дуги, на которые делят окружность вершины трапеции, равны $74^\circ, 74^\circ, 74^\circ$ и $138^\circ$.

Условие 2015-2022.

527. В окружность вписана трапеция, диагональ которой делит угол при большем основании пополам. Найдите дуги, на которые делят окружность вершины трапеции, если один из её углов равен $74^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).