Номер 524, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 524, страница 116.

Условие 2023.

524. Постройте отрезок длиной $x$, если $x = \sqrt{\frac{ab}{2}}$, где $a$ и $b$ — длины данных отрезков.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для построения отрезка искомой длины $x$ преобразуем данную формулу. Выражение $x = \sqrt{\frac{ab}{2}}$ можно записать как $x = \sqrt{a \cdot \frac{b}{2}}$.

Из этой записи видно, что отрезок $x$ является средним геометрическим (средним пропорциональным) двух отрезков, длины которых равны $a$ и $\frac{b}{2}$.

Таким образом, алгоритм построения будет состоять из двух этапов:

1. Построение отрезка длиной $c = \frac{b}{2}$ путем деления данного отрезка $b$ пополам.
2. Построение среднего геометрического отрезков $a$ и $c$, что даст искомый отрезок $x$.

Построение:

1. Возьмем данный отрезок длиной $b$. С помощью циркуля и линейки разделим его пополам. Для этого из концов отрезка $b$ проведем две дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина $b$) до их пересечения. Прямая, проходящая через точки пересечения дуг, разделит отрезок $b$ на две равные части. Длина каждой такой части будет равна $c = \frac{b}{2}$.
2. Проведем произвольную прямую и выберем на ней точку $A$.
3. От точки $A$ отложим на прямой отрезок $AK$, равный по длине данному отрезку $a$.
4. От точки $K$ на той же прямой и в том же направлении отложим отрезок $KC$, равный по длине построенному отрезку $c = \frac{b}{2}$.
5. Теперь на отрезке $AC$ как на диаметре построим полуокружность. Для этого найдем середину $O$ отрезка $AC$ и проведем дугу с центром в $O$ и радиусом $OA$.
6. Из точки $K$ восстановим перпендикуляр к прямой $AC$. Точку пересечения этого перпендикуляра с полуокружностью обозначим $D$.
7. Отрезок $KD$ и есть искомый отрезок $x$.

Доказательство:

Соединим точки $A$ и $D$, а также $C$ и $D$. Рассмотрим полученный треугольник $ADC$. Угол $\angle ADC$ является вписанным и опирается на диаметр $AC$, следовательно, он прямой ($\angle ADC = 90^\circ$). Таким образом, треугольник $ADC$ — прямоугольный.

Отрезок $KD$ по построению является высотой, опущенной из вершины прямого угла $D$ на гипотенузу $AC$. По свойству высоты прямоугольного треугольника, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $KD^2 = AK \cdot KC$.

По нашему построению, $AK = a$ и $KC = c = \frac{b}{2}$.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$KD^2 = a \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{2}$

Следовательно, $KD = \sqrt{\frac{ab}{2}}$.

Это означает, что длина построенного отрезка $KD$ равна $x$. Построение выполнено верно.

Ответ: Отрезок $KD$, построенный согласно приведенному выше алгоритму, является искомым отрезком.

Условие 2015-2022.

524. Постройте отрезок длиной $x$, если $x = \sqrt{\frac{ab}{2}}$, где $a$ и $b$ — длины данных отрезков.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).