Номер 518, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 518, страница 116.

Условие 2023.

518. Найдите периметр равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию задачи:
Меньшее основание $BC = 7$ см.
Большее основание $AD = 25$ см.
Трапеция равнобокая, следовательно, боковые стороны равны: $AB = CD$. Обозначим их длину как $c$.
Диагонали перпендикулярны боковым сторонам, например, диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. Это означает, что $\angle ACD = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Так как $\angle ACD = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным, где $AD$ — гипотенуза, а $AC$ и $CD$ — катеты.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований.
Найдем длину отрезка $HD$:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$. Высота $CH$, проведенная к гипотенузе $AD$, делит его на два подобных треугольника. Однако более прямым будет использование теоремы о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике, которая гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Для катета $CD$ и его проекции $HD$ на гипотенузу $AD$ имеем:
$CD^2 = AD \cdot HD$
Подставим известные значения:
$c^2 = 25 \cdot 9 = 225$
$c = \sqrt{225} = 15$ см.
Таким образом, длина боковой стороны трапеции равна 15 см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = c + 7 + c + 25 = 2c + 32$.
Подставим найденное значение $c$:
$P = 2 \cdot 15 + 32 = 30 + 32 = 62$ см.

Ответ: 62 см.

Условие 2015-2022.

518. Найдите периметр равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).