Номер 515, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 515, страница 116.

Условие 2023.

515. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника и его высоту, проведённую к гипотенузе, если больший катет меньше гипотенузы на 10 см и больше своей проекции на гипотенузу на 8 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в данном прямоугольном треугольнике b — это больший катет, a — меньший катет, c — гипотенуза. Пусть b_c — проекция большего катета на гипотенузу.

Из условий задачи составим систему уравнений:
1) Больший катет на 10 см меньше гипотенузы: $b = c - 10$.
2) Больший катет на 8 см больше своей проекции на гипотенузу: $b = b_c + 8$.

Из этих уравнений выразим гипотенузу c и проекцию катета b_c через больший катет b:
$c = b + 10$
$b_c = b - 8$

Воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике, согласно которому квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: $b^2 = c \cdot b_c$.
Подставим в это равенство полученные выражения для c и b_c:
$b^2 = (b + 10)(b - 8)$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно b:
$b^2 = b^2 - 8b + 10b - 80$
$b^2 = b^2 + 2b - 80$
$0 = 2b - 80$
$2b = 80$
$b = 40$ см.

Зная длину большего катета, мы можем найти длину гипотенузы:
$c = b + 10 = 40 + 10 = 50$ см.

Меньший катет прямоугольного треугольника

Меньший катет a найдем по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$a^2 + 40^2 = 50^2$
$a^2 + 1600 = 2500$
$a^2 = 2500 - 1600$
$a^2 = 900$
$a = \sqrt{900} = 30$ см.
Ответ: меньший катет равен 30 см.

Высота, проведённая к гипотенузе

Обозначим высоту, проведённую к гипотенузе, как h. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: $S = \frac{1}{2}ab$ и $S = \frac{1}{2}ch$. Приравняв правые части, получим $ab = ch$.
Подставим известные значения сторон:
$30 \cdot 40 = 50 \cdot h$
$1200 = 50h$
$h = \frac{1200}{50}$
$h = 24$ см.
Ответ: высота, проведённая к гипотенузе, равна 24 см.

Условие 2015-2022.

515. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника и его высоту, проведённую к гипотенузе, если больший катет меньше гипотенузы на 10 см и больше своей проекции на гипотенузу на 8 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).