Номер 512, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 512, страница 116.

Условие 2023.

512. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите катеты треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки. Обозначим эти отрезки (проекции катетов на гипотенузу) как $c_a$ и $c_b$. По условию, $c_a = 5$ см и $c_b = 20$ см. Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

1. Найдем длину гипотенузы $c$. Она равна сумме длин отрезков, на которые ее делит высота: $c = c_a + c_b = 5 + 20 = 25$ см.

2. Для нахождения катетов воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Найдем катет $a$, проекция которого на гипотенузу равна $c_a = 5$ см: $a^2 = c \cdot c_a$
$a^2 = 25 \cdot 5 = 125$
$a = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ см.

Аналогично найдем катет $b$, проекция которого на гипотенузу равна $c_b = 20$ см: $b^2 = c \cdot c_b$
$b^2 = 25 \cdot 20 = 500$
$b = \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5}$ см.

Ответ: $5\sqrt{5}$ см и $10\sqrt{5}$ см.

Условие 2015-2022.

512. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите катеты треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).