Номер 513, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 513, страница 116.

Условие 2023.

513. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна 48 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 36 см. Найдите стороны данного треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.

По условию задачи, высота $CH = 48$ см.

Отрезки $AH$ и $BH$ являются проекциями катетов $AC$ и $BC$ на гипотенузу. Пусть проекция одного из катетов $AH = 36$ см.

Для решения задачи используем метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и теорему Пифагора.

1. Нахождение второй проекции катета на гипотенузу.

Квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $CH^2 = AH \cdot BH$.

Подставим известные значения, чтобы найти $BH$:

$48^2 = 36 \cdot BH$

$2304 = 36 \cdot BH$

$BH = \frac{2304}{36} = 64$ см.

2. Нахождение гипотенузы.

Длина гипотенузы равна сумме длин проекций катетов: $AB = AH + BH$.

$AB = 36 + 64 = 100$ см.

3. Нахождение первого катета.

Высота $CH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $ACH$ и $BCH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. По теореме Пифагора найдем катет $AC$: $AC^2 = AH^2 + CH^2$.

$AC^2 = 36^2 + 48^2 = 1296 + 2304 = 3600$

$AC = \sqrt{3600} = 60$ см.

4. Нахождение второго катета.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$. По теореме Пифагора найдем катет $BC$: $BC^2 = BH^2 + CH^2$.

$BC^2 = 64^2 + 48^2 = 4096 + 2304 = 6400$

$BC = \sqrt{6400} = 80$ см.

Таким образом, стороны данного треугольника — это катеты 60 см и 80 см, и гипотенуза 100 см.

Ответ: стороны треугольника равны 60 см, 80 см и 100 см.

Условие 2015-2022.

513. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна 48 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу – 36 см. Найдите стороны данного треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).