Номер 520, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 520, страница 116.

Условие 2023.

520. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 12 см. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 10 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, в которой AD и BC — основания, AB и CD — боковые стороны. Из условия задачи известно, что боковая сторона равна 12 см ($AB = CD = 12$ см), диагональ перпендикулярна боковой стороне (пусть $AC \perp CD$, т.е. $\angle ACD = 90^\circ$), а радиус описанной около трапеции окружности $R = 10$ см.

Так как трапеция вписана в окружность, то все ее вершины (A, B, C, D) лежат на этой окружности. Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Угол $\angle ACD$ равен $90^\circ$ и является вписанным углом окружности. Вписанный прямой угол опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза AD треугольника $\triangle ACD$ является диаметром описанной окружности. Большее основание трапеции AD равно:$AD = 2R = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$ известны гипотенуза $AD = 20$ см и катет $CD = 12$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет AC, который является диагональю трапеции:$AC^2 = AD^2 - CD^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$$AC = \sqrt{256} = 16$ см.

Для нахождения меньшего основания BC воспользуемся теоремой Птолемея для вписанных четырехугольников, которая гласит, что произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC = BD = 16$ см).$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$Подставим известные значения:$16 \cdot 16 = 12 \cdot 12 + 20 \cdot BC$$256 = 144 + 20 \cdot BC$$20 \cdot BC = 256 - 144$$20 \cdot BC = 112$$BC = \frac{112}{20} = 5,6$ см.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Обозначим ее как $m$:$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{20 + 5,6}{2} = \frac{25,6}{2} = 12,8$ см.

Ответ: 12,8 см.

Условие 2015-2022.

520. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна $12 \text{ см}$. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $10 \text{ см}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).