Номер 526, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 526, страница 117.

Условие 2023.

526. На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ отметили соответственно точки $M$, $N$, $K$ и $E$ так, что четырёхугольник $MNKE$ является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Найдите периметр прямоугольника $MNKE$, если диагональ квадрата $ABCD$ равна $7$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — данный квадрат. По условию, его диагональ равна 7 см, то есть $AC = BD = 7$ см. В квадрат вписан прямоугольник $MNKE$, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Это означает, что $MN \parallel EK \parallel AC$ и $ME \parallel NK \parallel BD$.

Требуется найти периметр прямоугольника $MNKE$, который вычисляется по формуле $P_{MNKE} = 2(MN + NK)$.

Рассмотрим треугольник $BMN$. Так как $ABCD$ — квадрат, угол $\angle B = 90^\circ$. Диагональ квадрата $AC$ является биссектрисой угла $\angle BCD$, поэтому $\angle BCA = 45^\circ$. Поскольку по условию $MN \parallel AC$, то углы $\angle BNM$ и $\angle BCA$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $BC$. Таким образом, $\angle BNM = 45^\circ$.

В треугольнике $BMN$ два угла известны: $\angle B = 90^\circ$ и $\angle BNM = 45^\circ$. Третий угол $\angle BMN = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $BMN$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его гипотенуза $MN$ связана с катетом $BN$ соотношением $MN = BN \cdot \sqrt{2}$.

Аналогично рассмотрим треугольник $CNK$. Угол $\angle C = 90^\circ$. Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ADC$, поэтому $\angle BDC = 45^\circ$. Так как $NK \parallel BD$, то углы $\angle CKN$ и $\angle CDB$ равны как соответственные. Значит, $\angle CKN = 45^\circ$. Треугольник $CNK$ также является равнобедренным прямоугольным, и его гипотенуза $NK$ связана с катетом $CN$ соотношением $NK = CN \cdot \sqrt{2}$.

Теперь найдем сумму длин смежных сторон прямоугольника $MN + NK$: $MN + NK = BN \cdot \sqrt{2} + CN \cdot \sqrt{2}$ Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки: $MN + NK = (BN + CN) \cdot \sqrt{2}$

Точка $N$ лежит на стороне $BC$, поэтому сумма отрезков $BN$ и $CN$ равна длине стороны $BC$. Обозначим сторону квадрата как $a$, тогда $BN + CN = BC = a$. Таким образом, $MN + NK = a \cdot \sqrt{2}$.

Выражение $a\sqrt{2}$ является формулой для вычисления длины диагонали квадрата со стороной $a$. По условию задачи, диагональ квадрата $ABCD$ равна 7 см. Следовательно, сумма смежных сторон прямоугольника $MNKE$ равна длине диагонали квадрата $ABCD$: $MN + NK = 7$ см.

Периметр прямоугольника $MNKE$ равен удвоенной сумме его смежных сторон: $P_{MNKE} = 2(MN + NK) = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

Условие 2015-2022.

526. На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD отметили соответст- венно точки M, N, K и E так, что четырёхугольник MNKE является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям квад- рата. Найдите периметр прямоугольника MNKE, если диагональ квадрата ABCD равна 7 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).