Номер 528, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 528, страница 117.

Условие 2023.

528. У вписанного в окружность многоугольника выбрали вершину и провели все диагонали, которым эта вершина принадлежит. Докажите, что среди образовавшихся треугольников не более чем один является остроугольным.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан многоугольник $A_1A_2...A_n$, вписанный в окружность $\Omega$ с центром в точке $O$. Выберем вершину $A_1$ и проведем из нее все диагонали: $A_1A_3, A_1A_4, \dots, A_1A_{n-1}$. Эти диагонали разбивают многоугольник на $n-2$ треугольника: $\triangle A_1A_2A_3, \triangle A_1A_3A_4, \dots, \triangle A_1A_{n-1}A_n$.

Ключевым фактом для решения является свойство вписанного в окружность треугольника: он является остроугольным тогда и только тогда, когда центр описанной окружности лежит внутри треугольника. Если центр лежит на стороне треугольника, то треугольник — прямоугольный. Если центр лежит вне треугольника, то он — тупоугольный.

Треугольники, на которые диагонали из вершины $A_1$ разбивают многоугольник, полностью покрывают его, при этом их внутренние области не пересекаются. Центр окружности $O$ может либо лежать внутри одного из этих треугольников, либо на их общей границе, либо вне многоугольника (а значит, и вне всех этих треугольников).

Рассмотрим возможные случаи расположения центра $O$:

1. Центр $O$ попадает во внутреннюю область одного из треугольников, скажем $\triangle A_1A_k A_{k+1}$. В этом случае, согласно указанному свойству, $\triangle A_1A_k A_{k+1}$ является остроугольным. Поскольку внутренние области треугольников не пересекаются, центр $O$ не может одновременно находиться внутри какого-либо другого треугольника. Следовательно, все остальные треугольники не являются остроугольными. В этом случае мы имеем ровно один остроугольный треугольник.

2. Центр $O$ лежит на границе между двумя или несколькими треугольниками. Это означает, что $O$ лежит на одной из диагоналей, выходящих из вершины $A_1$ (например, на $A_1A_k$), либо на стороне исходного многоугольника (например, на $A_k A_{k+1}$).
- Если $O$ лежит на диагонали $A_1A_k$, то эта диагональ является диаметром окружности. Тогда в треугольниках $\triangle A_1A_{k-1}A_k$ и $\triangle A_1A_kA_{k+1}$ углы $\angle A_1A_{k-1}A_k$ и $\angle A_1A_{k+1}A_k$ соответственно являются прямыми, так как они опираются на диаметр. Таким образом, эти треугольники — прямоугольные.
- Если $O$ лежит на стороне $A_k A_{k+1}$, то эта сторона является диаметром. Тогда в треугольнике $\triangle A_1A_k A_{k+1}$ угол $\angle A_k A_1 A_{k+1}$ прямой.
В обоих подслучаях ни один из рассматриваемых треугольников не является остроугольным. Остальные треугольники также не могут быть остроугольными, так как центр $O$ не лежит внутри них. Таким образом, в этом случае остроугольных треугольников нет.

3. Центр $O$ лежит вне многоугольника. В этом случае он лежит и вне каждого из треугольников, на которые разбит многоугольник. Следовательно, все эти треугольники являются тупоугольными или прямоугольными, и среди них нет ни одного остроугольного.

Таким образом, проанализировав все возможные положения центра описанной окружности, мы видим, что количество остроугольных треугольников может быть либо равно одному, либо нулю. В любом случае, их не более одного. Что и требовалось доказать.

Ответ: Количество остроугольных треугольников среди образовавшихся не может превышать одного. Это следует из того, что вписанный треугольник является остроугольным только тогда, когда центр описанной окружности лежит внутри него. Так как все образовавшиеся треугольники разбивают многоугольник и их внутренние области не пересекаются, центр окружности может лежать внутри не более чем одного из них.

Условие 2015-2022.

528. У вписанного в окружность многоугольника выбрали вершину и провели все диагонали, которым эта вершина принадлежит. Докажите, что среди образовавшихся треугольников не более чем один является остроугольным.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).