Номер 522, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 522, страница 116.

Условие 2023.

522. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания де-лит большую боковую сторону на отрезки длиной $8\text{ см}$ и $50\text{ см}$. Най-дите периметр трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AB$ – меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям, $CD$ – большая боковая сторона, $BC$ и $AD$ – основания. Пусть $K$ – точка касания вписанной окружности со стороной $CD$.

По условию, точка касания делит сторону $CD$ на отрезки длиной 8 см и 50 см. Пусть $CK = 8$ см и $KD = 50$ см. Тогда длина большей боковой стороны равна:
$CD = CK + KD = 8 + 50 = 58$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной вершины к окружности: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.
Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
Тогда $CM = CK = 8$ см, и $DN = DK = 50$ см.

Так как трапеция прямоугольная, ее высота $h$ равна меньшей боковой стороне $AB$. Также высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. Если $r$ – радиус вписанной окружности, то $h = AB = 2r$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $CD = 58$ см.
• Катет $CH$ равен высоте трапеции, то есть $CH = AB = 2r$.
• Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH$. Так как $ABCH$ – прямоугольник, то $AH = BC$. Следовательно, $HD = AD - BC$.

Длины оснований также можно выразить через радиус $r$. Поскольку углы $A$ и $B$ прямые, отрезки от этих вершин до точек касания на прилежащих сторонах равны радиусу $r$. То есть, $BM = r$ и $AN = r$.
Тогда основания равны:
$BC = BM + MC = r + 8$ см.
$AD = AN + ND = r + 50$ см.

Теперь найдем длину катета $HD$:
$HD = AD - BC = (r + 50) - (r + 8) = 42$ см.

Применим теорему Пифагора для треугольника $CHD$: $CH^2 + HD^2 = CD^2$.
$(2r)^2 + 42^2 = 58^2$
$4r^2 + 1764 = 3364$
$4r^2 = 3364 - 1764$
$4r^2 = 1600$
$r^2 = 400$
$r = 20$ см.

Теперь, зная радиус, мы можем найти длины всех сторон трапеции:

• Меньшая боковая сторона (высота): $AB = 2r = 2 \cdot 20 = 40$ см.
• Верхнее основание: $BC = r + 8 = 20 + 8 = 28$ см.
• Нижнее основание: $AD = r + 50 = 20 + 50 = 70$ см.
• Большая боковая сторона: $CD = 58$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = 40 + 28 + 58 + 70 = 196$ см.

Для справки: в любом четырехугольнике, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны.
$AB + CD = BC + AD$
$40 + 58 = 28 + 70$
$98 = 98$
Тогда периметр можно было найти как $P = 2 \cdot (AB + CD) = 2 \cdot 98 = 196$ см.

Решение:
1. Находим длину большей боковой стороны $CD$, сложив длины отрезков, на которые ее делит точка касания: $CD = 8 + 50 = 58$ см.
2. Используем свойство описанного четырехугольника, согласно которому суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Периметр $P = AB + BC + CD + AD = 2 \cdot (AB + CD)$. Для нахождения периметра нужно найти высоту $AB$.
3. Проводим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $CHD$ гипотенуза $CD=58$ см, катет $CH$ равен высоте трапеции $AB$, а катет $HD$ равен разности оснований $AD-BC$.
4. Выражаем разность оснований через отрезки касательных: $HD = (r+50) - (r+8) = 42$ см. Высота $AB$ равна диаметру вписанной окружности: $AB=2r$.
5. По теореме Пифагора для $\triangle CHD$: $AB^2 + HD^2 = CD^2 \Rightarrow (2r)^2 + 42^2 = 58^2$. Отсюда $4r^2 = 1600$, $r=20$ см.
6. Находим высоту $AB=2r = 40$ см.
7. Вычисляем периметр: $P = 2 \cdot (AB + CD) = 2 \cdot (40 + 58) = 2 \cdot 98 = 196$ см.
Ответ: 196 см.

Условие 2015-2022.

522. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).