Номер 10, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 2. Подобие треугольников - номер 10, страница 112.

Условие 2023.

10. В треугольнике ABC известно, что $AB = 10 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$, $CA = 8 \text{ см}$. На стороне AC отмечена точка D такая, что $AD = 6 \text{ см}$.

Чему равен отрезок BD?

А) 5 см

Б) 4 см

В) 6 см

Г) 7 см

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для нахождения длины отрезка $BD$ воспользуемся теоремой косинусов. Сначала применим её к треугольнику $ABC$, чтобы найти косинус угла $A$. Затем, зная косинус угла $A$, применим теорему косинусов к треугольнику $ABD$, чтобы найти искомую длину $BD$.

1. В треугольнике $ABC$ по теореме косинусов имеем:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$
Подставляем известные значения: $AB = 10$ см, $BC = 4$ см, $AC = 8$ см.
$4^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos(\angle A)$
$16 = 100 + 64 - 160 \cdot \cos(\angle A)$
$16 = 164 - 160 \cdot \cos(\angle A)$
$160 \cdot \cos(\angle A) = 164 - 16 = 148$
$\cos(\angle A) = \frac{148}{160} = \frac{37}{40}$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нем известны стороны $AB = 10$ см, $AD = 6$ см и косинус угла между ними $\cos(\angle A) = \frac{37}{40}$. Снова применяем теорему косинусов, на этот раз для нахождения $BD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$
Подставляем значения:
$BD^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{37}{40}$
$BD^2 = 100 + 36 - 120 \cdot \frac{37}{40}$
$BD^2 = 136 - 3 \cdot 37$
$BD^2 = 136 - 111$
$BD^2 = 25$
$BD = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см

Условие 2015-2022.

10. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 10$ см, $BC = 4$ см, $CA = 8$ см. На стороне $AC$ отмечена точка $D$ такая, что $AD = 6$ см.

Чему равен отрезок $BD$?

А) 5 см

Б) 4 см

В) 6 см

Г) 7 см

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).