Номер 3, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 2. Подобие треугольников - номер 3, страница 111.

Условие 2023.

3. На рисунке 182 $A_1C_1 \parallel AC$. Тогда

А) $\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{BA_1}{A_1A}$

Б) $\frac{BA_1}{AB} = \frac{CB}{BC_1}$

В) $\frac{BC}{BC_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$

Г) $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BA_1}{AB}$

Рис. 182

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, в треугольнике $ \triangle ABC $ проведена прямая $ A_1C_1 $, параллельная стороне $ AC $ ($ A_1C_1 \parallel AC $).

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1BC_1 $.

1. Угол $ \angle B $ является общим для обоих треугольников.

2. Углы $ \angle BA_1C_1 $ и $ \angle BAC $ равны как соответственные углы при параллельных прямых $ A_1C_1 $ и $ AC $ и секущей $ AB $.

Следовательно, треугольник $ \triangle A_1BC_1 $ подобен треугольнику $ \triangle ABC $ по двум углам (признак подобия АА).

Из подобия треугольников $ \triangle A_1BC_1 \sim \triangle ABC $ следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$ \frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} $

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа.

А) $ \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{BA_1}{A_1A} $
Из нашей основной пропорции мы знаем, что $ \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{BA_1}{BA} $. Так как $ BA = BA_1 + A_1A $, то знаменатель $ BA $ не равен $ A_1A $. Следовательно, это равенство неверно.
Ответ: неверно.

Б) $ \frac{BA_1}{AB} = \frac{CB}{BC_1} $
Из основной пропорции $ \frac{BA_1}{AB} = \frac{BC_1}{BC} $. В предложенном варианте правая часть равенства ($ \frac{CB}{BC_1} $) является обратной к правильной ($ \frac{BC_1}{BC} $). Следовательно, это равенство неверно.
Ответ: неверно.

В) $ \frac{BC}{BC_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $
Рассмотрим часть основной пропорции: $ \frac{BC_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} $. Если мы "перевернем" обе дроби в этом равенстве (возьмем обратные величины), то получим $ \frac{BC}{BC_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $. Это полностью совпадает с предложенным вариантом.
Ответ: верно.

Г) $ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BA_1}{AB} $
Из основной пропорции мы знаем, что $ \frac{BA_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC} $. Если мы преобразуем эту пропорцию, чтобы получить $ \frac{AC}{A_1C_1} $, то правильное равенство будет выглядеть как $ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AB}{BA_1} $. Предложенный вариант не соответствует этому.
Ответ: неверно.

Условие 2015-2022.

В) $MA_1 = \frac{1}{2}AM$

Г) $MB_1 = \frac{1}{2}BB_1$

3. На рисунке 170 $A_1C_1 \parallel AC$. Тогда

А) $\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{BA_1}{A_1A}$

В) $\frac{BC}{BC_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$

Б) $\frac{BA_1}{AB} = \frac{CB}{BC_1}$

Г) $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BA_1}{AB}$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).