Номер 7, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 2. Подобие треугольников - номер 7, страница 112.

Условие 2023.

7. Отрезок $MN$, проведённый через точку пересечения диагоналей неравнобокой трапеции $ABCD$, параллелен её основаниям (рис. 183). Сколько пар подобных треугольников изображено на рисунке?

А) 4

Б) 6

В) 3

Г) 5

Рис. 183

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения задачи необходимо найти все пары подобных треугольников на представленном рисунке. Пусть точка пересечения диагоналей AC и BD называется O. По условию, отрезок MN проходит через точку O и параллелен основаниям трапеции BC и AD.

Используем свойство параллельных прямых для нахождения подобных треугольников. Подобие треугольников будем устанавливать по первому признаку (по двум равным углам).

1. Рассмотрим треугольники $ΔBOC$ и $ΔDOA$.
Они подобны, так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$):
- $∠BOC = ∠DOA$ (как вертикальные углы).
- $∠OCB = ∠OAD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).
Следовательно, $ΔBOC \sim ΔDOA$. Это первая пара подобных треугольников.

2. Рассмотрим треугольник $ΔABC$ и отрезок $MO$, который является частью отрезка $MN$.
Так как $MN \parallel BC$, то и $MO \parallel BC$. Отрезок $MO$ отсекает от треугольника $ΔABC$ подобный ему треугольник $ΔAMO$.
- $∠BAC$ — общий угол.
- $∠AMO = ∠ABC$ (как соответственные углы при параллельных прямых $MO$ и $BC$ и секущей $AB$).
Следовательно, $ΔAMO \sim ΔABC$. Это вторая пара.

3. Рассмотрим треугольник $ΔABD$ и отрезок $MO$.
Так как $MN \parallel AD$, то и $MO \parallel AD$. Отрезок $MO$ отсекает от треугольника $ΔABD$ подобный ему треугольник $ΔBMO$.
- $∠ABD$ — общий угол.
- $∠BMO = ∠BAD$ (как соответственные углы при параллельных прямых $MO$ и $AD$ и секущей $AB$).
Следовательно, $ΔBMO \sim ΔBAD$. Это третья пара.

4. Рассмотрим треугольник $ΔACD$ и отрезок $ON$, который является частью отрезка $MN$.
Так как $MN \parallel AD$, то и $ON \parallel AD$. Отрезок $ON$ отсекает от треугольника $ΔACD$ подобный ему треугольник $ΔCON$.
- $∠ACD$ — общий угол.
- $∠CNO = ∠CDA$ (как соответственные углы при параллельных прямых $ON$ и $AD$ и секущей $CD$).
Следовательно, $ΔCON \sim ΔACD$. Это четвертая пара.

5. Рассмотрим треугольник $ΔBCD$ и отрезок $ON$.
Так как $MN \parallel BC$, то и $ON \parallel BC$. Отрезок $ON$ отсекает от треугольника $ΔBCD$ подобный ему треугольник $ΔDNO$.
- $∠BDC$ — общий угол.
- $∠DNO = ∠DCB$ (как соответственные углы при параллельных прямых $ON$ и $BC$ и секущей $CD$).
Следовательно, $ΔDNO \sim ΔBCD$. Это пятая пара.

Таким образом, мы нашли 5 различных пар подобных треугольников. Других пар подобных треугольников в общем случае для неравнобокой трапеции на рисунке нет.

Ответ: 5

Условие 2015-2022.

7. Отрезок $MN$, проведённый через точку пересечения диагоналей неравнобокой трапеции $ABCD$, параллелен её основаниям (рис. 171). Сколько пар подобных треугольников изображено на рисунке?

А) 4 Б) 6 В) 3 Г) 5

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).