Номер 3, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Когда сделаны уроки. Глава 2. Подобие треугольников - номер 3, страница 110.

Условие 2023.

3. Биссектриса угла A остроугольного треугольника ABC перпендикулярна прямой Эйлера этого треугольника. Докажите, что $\angle A = 60^\circ$.

Указание. Докажите, что $HA = OA$.

Решение 6 (2023).

Пусть в остроугольном треугольнике $ABC$ $O$ — центр описанной окружности, $H$ — ортоцентр, а $R$ — радиус описанной окружности. Прямая, проходящая через точки $O$ и $H$, является прямой Эйлера. Обозначим биссектрису угла $A$ как $l_A$. По условию задачи, $l_A \perp OH$.

Расстояние от вершины $A$ до центра описанной окружности $O$ равно радиусу этой окружности:

$OA = R$

Расстояние от вершины $A$ до ортоцентра $H$ известно и выражается формулой:

$HA = 2R |\cos A|$

Так как треугольник $ABC$ по условию остроугольный, все его углы меньше $90^\circ$, поэтому $\cos A > 0$. Таким образом, формула упрощается:

$HA = 2R \cos A$

Следуя указанию, докажем, что $HA = OA$. Если это равенство верно, то мы можем приравнять правые части выражений для $HA$ и $OA$:

$2R \cos A = R$

Разделив обе части на $R$ (так как $R > 0$ для любого треугольника), получим:

$2 \cos A = 1 \implies \cos A = \frac{1}{2}$

Поскольку $\angle A$ — угол остроугольного треугольника ($0^\circ < \angle A < 90^\circ$), единственным решением этого уравнения является $\angle A = 60^\circ$. Таким образом, задача сводится к доказательству равенства $HA = OA$.

Докажем, что $HA = OA$. Для этого установим, что биссектриса угла $A$ ($l_A$) является также биссектрисой угла $OAH$.

Пусть углы треугольника при вершинах $A, B, C$ равны соответственно $\alpha, \beta, \gamma$.

Рассмотрим угол $\angle HAB$. Луч $AH$ является частью высоты, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$. Пусть основание этой высоты — точка $D$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ имеем $\angle BAD = 90^\circ - \beta$. Следовательно, $\angle HAB = 90^\circ - \beta$.

Теперь рассмотрим угол $\angle OAC$. Так как $O$ — центр описанной окружности, треугольник $AOC$ является равнобедренным с $OA = OC = R$. Угол при вершине $\angle AOC$ — это центральный угол, который вдвое больше вписанного угла $\angle ABC = \beta$, опирающегося на ту же дугу $AC$. Значит, $\angle AOC = 2\beta$. Углы при основании равнобедренного треугольника $AOC$ равны: $\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^\circ - 2\beta}{2} = 90^\circ - \beta$.

Мы получили, что $\angle HAB = 90^\circ - \beta$ и $\angle OAC = 90^\circ - \beta$. Это означает, что лучи $AH$ и $AO$ симметричны относительно биссектрисы угла $A$. Другими словами, биссектриса угла $A$ делит угол $OAH$ пополам, то есть $l_A$ является биссектрисой угла $OAH$.

Теперь воспользуемся условием задачи: $l_A \perp OH$. Рассмотрим треугольник $AOH$. В этом треугольнике $l_A$ является биссектрисой угла при вершине $A$ и, по условию, высотой, опущенной на противоположную сторону $OH$. Треугольник, в котором биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOH$ — равнобедренный, и его боковые стороны, прилегающие к вершине $A$, равны: $HA = OA$.

Равенство $HA = OA$ доказано, а из него, как было показано ранее, следует, что $\angle A = 60^\circ$.

Ответ: Доказано, что $\angle A = 60^\circ$.

Условие 2015-2022.

3. Биссектриса угла $A$ остроугольного треугольника $ABC$ перпендикулярна прямой Эйлера этого треугольника. Докажите, что $\angle A = 60^{\circ}$.

Указание. Докажите, что $HA = OA$.

Решение 1 (2015-2022).