Номер 2, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 2. Подобие треугольников - номер 2, страница 111.

Условие 2023.

2. Если медианы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$, то какое из данных равенств верно для любого треугольника $ABC$?

A) $AM : MB_1 = BM : MA_1$

Б) $MA_1 = \frac{1}{3}MB$

В) $MA_1 = \frac{1}{2}AM$

Г) $MB_1 = \frac{1}{2}BB_1$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи воспользуемся свойством медиан треугольника.

Свойство: Медианы треугольника пересекаются в одной точке (называемой центроидом) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

В нашем случае, медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $M$. Это означает, что точка $M$ делит каждую медиану в отношении 2:1.

Для медианы $AA_1$ это означает, что $AM : MA_1 = 2 : 1$. Из этого соотношения следуют равенства:
$AM = 2 \cdot MA_1$
$MA_1 = \frac{1}{2} AM$
Вся медиана $AA_1 = AM + MA_1 = 2MA_1 + MA_1 = 3MA_1$, следовательно $MA_1 = \frac{1}{3} AA_1$ и $AM = \frac{2}{3} AA_1$.

Аналогично для медианы $BB_1$ справедливо соотношение $BM : MB_1 = 2 : 1$. Из него следуют равенства:
$BM = 2 \cdot MB_1$
$MB_1 = \frac{1}{2} BM$
Вся медиана $BB_1 = BM + MB_1 = 2MB_1 + MB_1 = 3MB_1$, следовательно $MB_1 = \frac{1}{3} BB_1$ и $BM = \frac{2}{3} BB_1$.

Теперь проверим каждое из предложенных равенств:

А) $AM : MB_1 = BM : MA_1$
Перепишем это соотношение в виде пропорции: $\frac{AM}{MB_1} = \frac{BM}{MA_1}$.
Подставим известные соотношения $AM = 2MA_1$ и $BM = 2MB_1$:
$\frac{2MA_1}{MB_1} = \frac{2MB_1}{MA_1}$
Перемножив крест-накрест, получим:
$2(MA_1)^2 = 2(MB_1)^2$
$(MA_1)^2 = (MB_1)^2$
$MA_1 = MB_1$
Это равенство верно, только если длины отрезков медиан от середин сторон до точки пересечения равны. Это, в свою очередь, означает, что и сами медианы $AA_1$ и $BB_1$ равны. Такое условие выполняется, например, в равнобедренном треугольнике, где $AC = BC$, но не в произвольном треугольнике. Следовательно, это утверждение неверно в общем случае.
Ответ: неверно.

Б) $MA_1 = \frac{1}{3} MB$
Используем соотношения, связывающие части медиан с целыми медианами: $MA_1 = \frac{1}{3}AA_1$ и $MB = \frac{2}{3}BB_1$. Подставим их в данное равенство:
$\frac{1}{3}AA_1 = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3}BB_1)$
$\frac{1}{3}AA_1 = \frac{2}{9}BB_1$
$3AA_1 = 2BB_1$
Это равенство устанавливает определенное соотношение между длинами медиан, которое не выполняется для любого треугольника. Следовательно, это утверждение неверно.
Ответ: неверно.

В) $MA_1 = \frac{1}{2} AM$
Это равенство напрямую следует из основного свойства медиан. Как было установлено ранее, точка пересечения медиан $M$ делит медиану $AA_1$ в отношении $AM : MA_1 = 2 : 1$.
Из этого отношения следует, что $AM = 2 \cdot MA_1$.
Разделив обе части равенства на 2, получаем:
$MA_1 = \frac{1}{2} AM$
Это утверждение справедливо для любой медианы в любом треугольнике.
Ответ: верно.

Г) $MB_1 = \frac{1}{2} BB_1$
Мы знаем, что вся медиана $BB_1$ состоит из двух отрезков: $BB_1 = BM + MB_1$. Из свойства медиан $BM = 2MB_1$. Подставим это в первое выражение:
$BB_1 = 2MB_1 + MB_1 = 3MB_1$
Отсюда следует, что $MB_1 = \frac{1}{3}BB_1$.
Данное в варианте равенство $MB_1 = \frac{1}{2} BB_1$ является неверным.
Ответ: неверно.

Условие 2015-2022.

2. Если медианы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$, то какое из данных равенств является верным?

А) $AM : MB_1 = BM : MA_1$

Б) $MA_1 = \frac{1}{3} MB$

В) $MA_1 = \frac{1}{2} AM$

Г) $MB_1 = \frac{1}{2} BB_1$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).