Номер 2, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 2, страница 115.

Условие 2023.

2. Какой формулой связаны катет, гипотенуза и проекция этого катета на гипотенузу?

Решение 6 (2023).

Связь между катетом, гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу в прямоугольном треугольнике является одним из ключевых метрических соотношений. Давайте разберем его подробно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где:

• $a$ и $b$ — катеты;
• $c$ — гипотенуза;
• $h$ — высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе;
• $a_c$ — проекция катета $a$ на гипотенузу;
• $b_c$ — проекция катета $b$ на гипотенузу.

Искомая формула устанавливает зависимость между катетом $a$, гипотенузой $c$ и проекцией $a_c$. Аналогичная формула существует и для катета $b$.

Формулировка свойства звучит так: Катет является средним пропорциональным (или средним геометрическим) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

В виде формулы это утверждение записывается следующим образом:

$a = \sqrt{c \cdot a_c}$

или, что более распространено:

$a^2 = c \cdot a_c$

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Проведем высоту $CD$ на гипотенузу $AB$.

Треугольник $\triangle ADC$ подобен треугольнику $\triangle ACB$ по двум углам (угол $A$ — общий, $\angle ADC = \angle ACB = 90^\circ$).
Также треугольник $\triangle CDB$ подобен треугольнику $\triangle ACB$ по двум углам (угол $B$ — общий, $\angle CDB = \angle ACB = 90^\circ$).

Из подобия треугольников $\triangle CDB$ и $\triangle ACB$ следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{BC}{AB} = \frac{BD}{BC}$

Подставим обозначения: $BC = a$, $AB = c$, $BD = a_c$.

$\frac{a}{c} = \frac{a_c}{a}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$a \cdot a = c \cdot a_c$

$a^2 = c \cdot a_c$

Формула доказана.

Ответ: Катет, гипотенуза и проекция этого катета на гипотенузу связаны формулой, утверждающей, что квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Если катет обозначить как $a$, гипотенузу как $c$, а проекцию катета $a$ на гипотенузу как $a_c$, то формула будет иметь вид: $a^2 = c \cdot a_c$.

Условие 2015-2022.

2. Какой формулой связаны катет, гипотенуза и проекция этого катета на гипотенузу?