Номер 482, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 482, страница 98.

Условие 2023.

482. В окружности, радиус которой равен 8 см, проведена хорда $AB$. На прямой $AB$ вне отрезка $AB$ отметили точку $C$ такую, что $AC : BC = 1 : 4$. Найдите расстояние от точки $C$ до центра окружности, если $AB = 9$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $O$ — центр окружности. По условию задачи, радиус окружности $R = 8$ см, а длина хорды $AB = 9$ см. На прямой $AB$ вне отрезка $AB$ расположена точка $C$ так, что $AC:BC = 1:4$.

Из соотношения $AC:BC = 1:4$ следует, что $BC = 4 \cdot AC$. Так как точка $C$ находится вне отрезка $AB$, возможны два варианта расположения точек на прямой: точка $A$ лежит между $C$ и $B$, или точка $B$ лежит между $A$ и $C$.

Рассмотрим первый случай, когда точки расположены в порядке $C, A, B$. В этом случае, $BC = AC + AB$. Подставив сюда $BC = 4 \cdot AC$ и $AB=9$ см, получим уравнение:
$4 \cdot AC = AC + 9$
$3 \cdot AC = 9$
$AC = 3$ см.
Это положительное значение, значит, такое расположение возможно.

Рассмотрим второй случай, когда точки расположены в порядке $A, B, C$. В этом случае, $AC = AB + BC$. Подставив $BC = 4 \cdot AC$ и $AB=9$ см, получим:
$AC = 9 + 4 \cdot AC$
$-3 \cdot AC = 9$
$AC = -3$ см.
Длина отрезка не может быть отрицательной, следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможный порядок расположения точек — это $C, A, B$, при котором $AC = 3$ см.

Теперь найдем искомое расстояние от точки $C$ до центра окружности $O$, то есть длину отрезка $OC$. Проведем из центра $O$ перпендикуляр $OH$ к хорде $AB$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ (где $OA=OB=R=8$ см) высота $OH$ также является медианой, поэтому точка $H$ — середина хорды $AB$.
$AH = \frac{AB}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$. По теореме Пифагора $OA^2 = AH^2 + OH^2$. Выразим квадрат высоты $OH$:
$OH^2 = OA^2 - AH^2 = 8^2 - (4.5)^2 = 64 - 20.25 = 43.75$.

Поскольку точки расположены в порядке $C, A, B$, а $H$ — середина $AB$, то точка $A$ находится между $C$ и $H$. Расстояние $CH$ можно найти как сумму длин отрезков $CA$ и $AH$:
$CH = CA + AH = 3 + 4.5 = 7.5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COH$, в котором $OC$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:
$OC^2 = OH^2 + CH^2$.
Подставим найденные значения:
$OC^2 = 43.75 + (7.5)^2 = 43.75 + 56.25 = 100$.

Таким образом, искомое расстояние $OC$ равно:
$OC = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

Условие 2015-2022.

482. В окружности, радиус которой равен 8 см, проведена хорда $AB$. На прямой $AB$ вне отрезка $AB$ отметили точку $C$ такую, что $AC : BC = 1 : 4$. Найдите расстояние от точки $C$ до центра окружности, если $AB = 9$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).