Номер 480, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 480, страница 98.

Условие 2023.

480. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке B, а другая пересекает окружность в точках C и D (точка C лежит между точками A и D), $AB = 18$ см, $AC : CD = 4 : 5$. Найдите отрезок $AD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи используется теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от той же точки до точек ее пересечения с окружностью.

Пусть $AB$ — касательная к окружности, а $AD$ — секущая, пересекающая окружность в точках $C$ и $D$. Согласно теореме, справедливо равенство: $AB^2 = AC \cdot AD$

Из условия задачи нам известно:
$AB = 18$ см.
Соотношение $AC : CD = 4 : 5$.

Введем переменную $x$ в качестве коэффициента пропорциональности. Тогда длины отрезков можно записать как:
$AC = 4x$
$CD = 5x$

Так как точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$, длина отрезка $AD$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CD$:
$AD = AC + CD = 4x + 5x = 9x$

Теперь подставим все известные и выраженные через $x$ величины в формулу теоремы:
$18^2 = (4x) \cdot (9x)$
$324 = 36x^2$

Решим это уравнение относительно $x$:
$x^2 = \frac{324}{36}$
$x^2 = 9$
Так как длина отрезка — величина положительная, берем только положительное значение корня:
$x = 3$

Зная $x$, мы можем найти длину искомого отрезка $AD$:
$AD = 9x = 9 \cdot 3 = 27$ см.

Ответ: 27 см.

Условие 2015-2022.

480. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке B, а другая пересекает окружность в точках C и D (точка C лежит между точками A и D), $AB = 18 \text{ см}$, $AC : CD = 4 : 5$. Найдите отрезок AD.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).