Номер 481, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 481, страница 98.

Условие 2023.

481. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых пересекает окружность в точках B и C (точка B лежит между точками A и C), а другая – в точках D и E (точка D лежит между точками A и E).

1) Докажите, что $AB \cdot AC = AD \cdot AE$.

2) Найдите отрезок AE, если $AB = 18$ см, $BC = 12$ см и $AD : DE = 5 : 7$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) Докажите, что $AB \cdot AC = AD \cdot AE$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ABE$.

Угол $\angle A$ ($\angle CAD = \angle BAE$) является общим для этих двух треугольников.

Точки $B, C, D, E$ лежат на одной окружности, следовательно, четырехугольник $BCED$ является вписанным в окружность. По свойству углов вписанного четырехугольника, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle ACD$ (то же, что и $\angle BCD$) и $\angle AEB$ (то же, что и $\angle DEB$) опираются на одну и ту же дугу $BD$. Следовательно, $\angle ACD = \angle AEB$.

Таким образом, треугольник $\triangle ADC$ подобен треугольнику $\triangle ABE$ по двум углам (признак подобия AA), так как у них есть общий угол $\angle A$ и равные углы $\angle ACD = \angle AEB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AD}{AB} = \frac{AC}{AE}$

Сторона $AD$ в $\triangle ADC$ лежит напротив угла $\angle ACD$, а сторона $AB$ в $\triangle ABE$ лежит напротив равного ему угла $\angle AEB$. Сторона $AC$ в $\triangle ADC$ лежит напротив угла $\angle ADC$, а сторона $AE$ в $\triangle ABE$ лежит напротив равного ему угла $\angle ABE$.

Из полученной пропорции, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$AD \cdot AE = AB \cdot AC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Найдите отрезок AE, если $AB = 18$ см, $BC = 12$ см и $AD : DE = 5 : 7$.

Воспользуемся доказанной в пункте 1 формулой: $AB \cdot AC = AD \cdot AE$.

Сначала найдем длины отрезков для первой секущей. Нам дано:

$AB = 18$ см

$BC = 12$ см

Поскольку точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$, длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$:

$AC = AB + BC = 18 + 12 = 30$ см.

Теперь вычислим произведение $AB \cdot AC$:

$AB \cdot AC = 18 \cdot 30 = 540$ см$^2$.

Теперь рассмотрим вторую секущую. Нам дано отношение $AD : DE = 5 : 7$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда:

$AD = 5x$

$DE = 7x$

Так как точка $D$ лежит между точками $A$ и $E$, длина отрезка $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$:

$AE = AD + DE = 5x + 7x = 12x$.

Подставим выражения для $AD$ и $AE$ в нашу формулу:

$AD \cdot AE = (5x) \cdot (12x) = 60x^2$.

Приравняем произведения для обеих секущих:

$60x^2 = 540$

Решим уравнение относительно $x$:

$x^2 = \frac{540}{60}$

$x^2 = 9$

$x = 3$ (выбираем положительное значение, так как $x$ представляет собой коэффициент для длин отрезков).

Наконец, найдем длину отрезка $AE$:

$AE = 12x = 12 \cdot 3 = 36$ см.

Ответ: $AE = 36$ см.

Условие 2015-2022.

481. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых пересекает окружность в точках B и C (точка B лежит между точками A и C), а другая – в точках D и E (точка D лежит между точками A и E).

1) Докажите, что $AB \cdot AC = AD \cdot AE$.

2) Найдите AE, если $AB = 18$ см, $BC = 12$ см и $AD : DE = 5 : 7$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).