Номер 477, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 477, страница 98.

Условие 2023.

477. Точка $E$ делит хорду $CD$ окружности на отрезки длиной 15 см и 16 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки $E$ до центра окружности равно 4 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть O — центр окружности, а R — её радиус. По условию, точка E лежит на хорде CD и делит её на отрезки CE = 15 см и ED = 16 см. Расстояние от точки E до центра окружности OE = 4 см.

Для решения задачи проведём из центра окружности O перпендикуляр OM к хорде CD. По свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра, делит её на два равных отрезка.

Сначала найдём полную длину хорды CD: $CD = CE + ED = 15 + 16 = 31$ см.

Точка M является серединой хорды CD, поэтому: $CM = MD = \frac{CD}{2} = \frac{31}{2} = 15,5$ см.

Теперь найдём расстояние между точкой E и серединой хорды M. Поскольку точка E лежит между C и M (так как $CE = 15$ см, а $CM = 15,5$ см), то расстояние ME равно: $ME = CM - CE = 15,5 - 15 = 0,5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OME (угол при вершине M прямой, так как OM ⊥ CD). По теореме Пифагора $OE^2 = OM^2 + ME^2$. Мы можем найти квадрат длины катета OM: $OM^2 = OE^2 - ME^2$ $OM^2 = 4^2 - (0,5)^2 = 16 - 0,25 = 15,75$

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник OMD (угол при вершине M прямой). Его гипотенуза OD — это радиус окружности R, а катеты — OM и MD. Снова применим теорему Пифагора: $OD^2 = OM^2 + MD^2$ $R^2 = OM^2 + MD^2$

Подставим найденное значение $OM^2 = 15,75$ и известное значение $MD = 15,5$ см: $R^2 = 15,75 + (15,5)^2$ $R^2 = 15,75 + 240,25$ $R^2 = 256$

Отсюда находим радиус R: $R = \sqrt{256} = 16$ см.

Эту же задачу можно решить быстрее, используя свойство степени точки относительно окружности (или теорему о пересекающихся хордах).

Проведём через точку E и центр O диаметр. Точка E разделит этот диаметр на отрезки длиной $R - OE$ и $R + OE$. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (хорды CD и проведённого нами диаметра) имеем: $CE \cdot ED = (R - OE) \cdot (R + OE)$

Подставляем известные значения: $15 \cdot 16 = (R - 4)(R + 4)$ $240 = R^2 - 4^2$ $240 = R^2 - 16$ $R^2 = 240 + 16 = 256$ $R = \sqrt{256} = 16$ см.

Ответ: 16 см.

Условие 2015-2022.

477. Точка $E$ делит хорду $CD$ окружности на отрезки длиной 15 см и 16 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки $E$ до центра окружности равно 4 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).