Номер 466, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 466, страница 96.

Условие 2023.

466. Докажите, что в подобных треугольниках высоты, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть даны два подобных треугольника: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Из определения подобных треугольников следует, что их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны с некоторым коэффициентом подобия $k$:

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Проведём высоты из вершин соответственных углов $B$ и $B_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Обозначим эти высоты как $BH$ и $B_1H_1$. Нам нужно доказать, что $\frac{BH}{B_1H_1} = k$.

По определению высоты, $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$. Это означает, что $\angle BHA = 90^\circ$ и $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. Они являются прямоугольными.

В этих треугольниках:

1. $\angle A = \angle A_1$ (как соответственные углы в подобных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).

2. $\angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$ (по построению высот).

Следовательно, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ подобны по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия этих треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно:

$\frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$

Так как мы знаем, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$, то мы можем заключить, что:

$\frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Таким образом, мы доказали, что в подобных треугольниках высоты, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение высот, проведённых из соответственных углов в подобных треугольниках, равно отношению их соответственных сторон.

Условие 2015-2022.

466. Докажите, что в подобных треугольниках высоты, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).