Номер 463, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 463, страница 96.

Условие 2023.

463. В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $BO = 4$ см, $OD = 20$ см, $AC = 36$ см. Найдите отрезки $AO$ и $OC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $DOA$, которые образованы при пересечении диагоналей трапеции $ABCD$.

1. Углы $\angle BOC$ и $\angle DOA$ равны, так как они являются вертикальными.

2. Так как $BC$ и $AD$ являются основаниями трапеции, то прямые, содержащие эти отрезки, параллельны ($BC \parallel AD$).

3. Углы $\angle OCB$ и $\angle OAD$ равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

4. Аналогично, углы $\angle OBC$ и $\angle ODA$ равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.

Из этого следует, что треугольник $\triangle BOC$ подобен треугольнику $\triangle DOA$ по двум углам (например, по п.1 и п.3).

В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны. Запишем соотношение для сторон:

$\frac{BO}{DO} = \frac{OC}{AO} = \frac{BC}{DA}$

Нам известны длины отрезков $BO$ и $DO$. Подставим их значения в пропорцию:

$\frac{OC}{AO} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

Из этого соотношения мы можем выразить длину отрезка $AO$ через $OC$:

$AO = 5 \cdot OC$

По условию задачи, длина всей диагонали $AC$ равна 36 см. Также очевидно, что $AC = AO + OC$.

Теперь мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} AO = 5 \cdot OC \\ AO + OC = 36 \end{cases}$

Подставим выражение для $AO$ из первого уравнения во второе:

$5 \cdot OC + OC = 36$

$6 \cdot OC = 36$

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $OC$:

$OC = \frac{36}{6} = 6$ см

Теперь, зная $OC$, мы можем найти $AO$ из первого уравнения:

$AO = 5 \cdot OC = 5 \cdot 6 = 30$ см

Для проверки сложим найденные длины отрезков: $AO + OC = 30 + 6 = 36$ см, что соответствует исходному условию.

Ответ: $AO = 30$ см, $OC = 6$ см.

Условие 2015-2022.

463. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке O, $BO = 4$ см, $OD = 20$ см, $AC = 36$ см. Найдите отрезки AO и OC.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).