Номер 459, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 459, страница 96.

Условие 2023.

459. Можно ли утверждать, что два равнобедренных треугольника подобны, если у них есть:

1) по равному острому углу,

2) по прямому углу,

3) по равному тупому углу?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника (первый признак подобия треугольников). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если углы треугольника равны $\alpha, \beta, \beta$, то их сумма $\alpha + 2\beta = 180^\circ$.

1) по равному острому углу

Нет, не всегда. Если два равнобедренных треугольника имеют по равному острому углу, этот угол может быть как углом при вершине в одном треугольнике, так и углом при основании в другом. В этом случае треугольники не будут подобны.
Приведем контрпример. Пусть у двух равнобедренных треугольников есть равный острый угол $40^\circ$.
- В первом треугольнике пусть угол при вершине равен $40^\circ$. Тогда углы при основании будут равны по $\frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$. Углы этого треугольника: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.
- Во втором треугольнике пусть угол при основании равен $40^\circ$. Тогда второй угол при основании также равен $40^\circ$, а угол при вершине равен $180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 100^\circ$. Углы этого треугольника: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.
Так как наборы углов ($40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$) и ($100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$) не совпадают, треугольники не подобны.
Ответ: Нет.

2) по прямому углу

Да, можно. Прямой угол равен $90^\circ$.
В равнобедренном треугольнике не может быть двух прямых углов, так как их сумма уже составит $180^\circ$. Значит, углы при основании не могут быть прямыми.
Следовательно, прямой угол в равнобедренном треугольнике может быть только углом при вершине.
Если угол при вершине равен $90^\circ$, то на сумму двух равных углов при основании остается $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Каждый из них будет равен $\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
Таким образом, любой равнобедренный треугольник, имеющий прямой угол, имеет углы $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$.
Поскольку все такие треугольники имеют одинаковые углы, они подобны друг другу.
Ответ: Да.

3) по равному тупому углу

Да, можно. Тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.
В треугольнике может быть только один тупой угол. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому они не могут быть тупыми (их сумма превысила бы $180^\circ$).
Следовательно, тупой угол в равнобедренном треугольнике может быть только углом при вершине.
Если два равнобедренных треугольника имеют равный тупой угол $\gamma$, то он в обоих треугольниках является углом при вершине. Тогда углы при основании в каждом из этих треугольников будут равны $\frac{180^\circ - \gamma}{2}$.
Таким образом, оба треугольника будут иметь одинаковый набор углов: $\gamma, \frac{180^\circ - \gamma}{2}, \frac{180^\circ - \gamma}{2}$.
Следовательно, они подобны.
Ответ: Да.

Условие 2015-2022.

459. Можно ли утверждать, что два равнобедренных треугольника подобны, если у них есть:

1) по равному острому углу;

2) по прямому углу;

3) по равному тупому углу?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).