Номер 461, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 461, страница 96.

Условие 2023.

461. Из вершины прямого угла треугольника опущена высота на гипотенузу. Сколько подобных треугольников образовалось при этом?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ \triangle ABC $, в котором $ \angle C = 90^\circ $. Проведем из вершины прямого угла $ C $ высоту $ CH $ на гипотенузу $ AB $. Эта высота разделит исходный треугольник $ \triangle ABC $ на два новых, меньших прямоугольных треугольника: $ \triangle ACH $ (с прямым углом при вершине $ H $) и $ \triangle CBH $ (также с прямым углом при вершине $ H $). В результате мы имеем три треугольника: исходный $ \triangle ABC $ и два образовавшихся $ \triangle ACH $ и $ \triangle CBH $.

Докажем, что все три треугольника подобны друг другу. Подобие треугольников можно установить по двум равным углам.

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle ACH $ и $ \triangle ABC $. У них есть общий острый угол $ \angle A $. Кроме того, оба треугольника являются прямоугольными, то есть $ \angle AHC = 90^\circ $ и $ \angle ACB = 90^\circ $. Следовательно, по признаку подобия по двум углам, $ \triangle ACH \sim \triangle ABC $.

2. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle CBH $ и $ \triangle ABC $. У них есть общий острый угол $ \angle B $. Также, оба треугольника являются прямоугольными, то есть $ \angle CHB = 90^\circ $ и $ \angle ACB = 90^\circ $. Следовательно, по признаку подобия по двум углам, $ \triangle CBH \sim \triangle ABC $.

Поскольку оба меньших треугольника ($ \triangle ACH $ и $ \triangle CBH $) подобны исходному большому треугольнику ($ \triangle ABC $), они подобны и друг другу (по свойству транзитивности подобия). Таким образом, все три треугольника в фигуре подобны между собой: $ \triangle ACH \sim \triangle CBH \sim \triangle ABC $.

Следовательно, при опускании высоты из прямого угла на гипотенузу образуется 3 подобных треугольника (исходный и два новых).

Ответ: 3.

Условие 2015-2022.

461. Из вершины прямого угла треугольника опущена высота на гипотенузу. Сколько подобных треугольников образовалось при этом?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).