Номер 454, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 454, страница 95.

Условие 2023.

454. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ (рис. 160) отмечена точка $E$, прямые $BE$ и $AD$ пересекаются в точке $F$,

Рис. 160

$CE = 8$ см, $DE = 4$ см, $BE = 10$ см, $AD = 9$ см. Найдите отрезки $EF$ и $FD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle FDE$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Точка $F$ лежит на продолжении стороны $AD$, следовательно, прямая $FD$ совпадает с прямой $AD$, а значит $BC \parallel FD$.

Сравним углы треугольников $\triangle BCE$ и $\triangle FDE$:

1. $\angle BEC = \angle FED$ как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $BF$ и $CD$.

2. $\angle CBE = \angle EFD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $FD$ и секущей $BF$.

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то $\triangle BCE \sim \triangle FDE$ (по первому признаку подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{BC}{FD} = \frac{CE}{DE} = \frac{BE}{EF}$

По условию задачи известно, что $CE = 8$ см, $DE = 4$ см, $BE = 10$ см, $AD = 9$ см.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD = 9$ см.

Подставим известные значения в соотношение:

$\frac{9}{FD} = \frac{8}{4} = \frac{10}{EF}$

Из средней части пропорции находим коэффициент подобия: $k = \frac{8}{4} = 2$.

EF

Чтобы найти длину отрезка $EF$, воспользуемся частью пропорции $\frac{BE}{EF} = 2$.

$\frac{10}{EF} = 2$

$EF = \frac{10}{2} = 5$ (см).

Ответ: $EF = 5$ см.

FD

Чтобы найти длину отрезка $FD$, воспользуемся частью пропорции $\frac{BC}{FD} = 2$.

$\frac{9}{FD} = 2$

$FD = \frac{9}{2} = 4,5$ (см).

Ответ: $FD = 4,5$ см.

Условие 2015-2022.

454. На стороне CD параллелограмма ABCD (рис. 148) отмечена точка E, прямые BE и AD пересекаются в точке F, $CE = 8$ см, $DE = 4$ см, $BE = 10$ см, $AD = 9$ см. Найдите отрезки $EF$ и $FD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).