Номер 452, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 452, страница 95.

Условие 2023.

452. Укажите пары подобных треугольников, изображённых на рисунке 159, найдите длину отрезка $x$ (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 159

a

Пара подобных треугольников: $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$.

В $\triangle ABC$: $BC = 3$, $AC = 4$. По теореме Пифагора $AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

В $\triangle ADE$: $BD = 5$, следовательно, $AD = AB + BD = 5 + 5 = 10$.

$CE = 6$, следовательно, $AE = AC + CE = 4 + 6 = 10$.

Поскольку $\angle A$ общий для $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$, и $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle ADE = 90^\circ$, то $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ по двум углам.

Соотношение сторон: $\frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AD}$

$\frac{3}{x} = \frac{4}{10} = \frac{5}{10}$

Используем соотношение $\frac{3}{x} = \frac{5}{10}$:

$\frac{3}{x} = \frac{1}{2}$

$x = 3 \cdot 2$

$x = 6$

б

Пара подобных треугольников: $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$.

Из рисунка даны стороны: $AB = 15$, $AE = 18$, $DE = 21$, $AD = x$.

Поскольку $\angle A$ является общим углом для $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$, и в условии задачи требуется найти $x$, предполагаем, что $\triangle ABC \sim \triangle ADE$. Для этого необходимо, чтобы стороны, прилежащие к углу $A$, были пропорциональны: $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$. Поскольку длина $AC$ не указана, предполагаем, что $AC = AB = 15$ (такое допущение часто делается в подобных задачах, если иначе задача не решается).

Соотношение сторон: $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$

Подставляем известные значения (с допущением $AC = 15$):

$\frac{15}{x} = \frac{15}{18} = \frac{BC}{21}$

Используем соотношение $\frac{15}{x} = \frac{15}{18}$:

$x = 18$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

a

Рассмотрим треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ADE$.
1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
2. Согласно рисунку, $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle ADE = 90^\circ$.
Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
Парой подобных треугольников являются $\triangle ACB$ и $\triangle ADE$, то есть $\triangle ACB \sim \triangle ADE$.
Из подобия следует пропорциональность соответственных сторон:
$\frac{CB}{DE} = \frac{AB}{AE}$
Длина стороны $AE$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CE$:
$AE = AC + CE = 4 + 6 = 10$ см.
Подставим известные значения в пропорцию, где $DE = x$:
$\frac{3}{x} = \frac{5}{10}$
Решим уравнение относительно $x$:
$5 \cdot x = 3 \cdot 10$
$5x = 30$
$x = \frac{30}{5} = 6$ см.
Ответ: пара подобных треугольников - $\triangle ACB \sim \triangle ADE$; $x = 6$ см.

б

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$.
1. Углы $\angle BAC$ и $\angle CDE$ равны по условию (на рисунке они отмечены одинаковыми дугами).
2. Углы $\angle ACB$ и $\angle DCE$ равны, так как они являются вертикальными.
Следовательно, треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
Парой подобных треугольников являются $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$, то есть $\triangle ABC \sim \triangle DEC$.
Из подобия следует пропорциональность соответственных сторон:
$\frac{AC}{DC} = \frac{AB}{DE}$
Подставим известные значения в пропорцию, где $DC = x$:
$\frac{18}{x} = \frac{15}{21}$
Решим уравнение относительно $x$, используя основное свойство пропорции:
$15 \cdot x = 18 \cdot 21$
$15x = 378$
$x = \frac{378}{15} = 25.2$ см.
Ответ: пара подобных треугольников - $\triangle ABC \sim \triangle DEC$; $x = 25.2$ см.

Условие 2015-2022.

452. Укажите пары подобных треугольников, изображённых на рисунке 147, найдите длину отрезка $x$ (размеры даны в сантиметрах).

Рис. 147

a

Подобные треугольники: $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$.

Длина отрезка $x$: $x = 7.5$ см.

б

Подобные треугольники: $\triangle ABC$ и $\triangle EDC$.

Длина отрезка $x$: $x = 17.5$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).