Номер 448, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 448, страница 92.

Условие 2023.

448. На плоскости отметили 25 точек так, что среди любых трёх из них найдутся две точки, расстояние между которыми меньше единицы. Докажите, что существует окружность единичного радиуса, которая содержит не менее 13 данных точек.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дано множество $S$ из 25 точек на плоскости. Построим граф $G$, вершинами которого являются эти 25 точек. Две вершины в этом графе соединены ребром тогда и только тогда, когда расстояние между соответствующими точками не меньше единицы.

Условие задачи гласит, что среди любых трёх точек из множества $S$ найдутся две, расстояние между которыми меньше единицы. В терминах нашего графа $G$ это означает, что не существует трёх вершин, попарно соединённых рёбрами. Иными словами, в графе $G$ нет треугольников (он является $K_3$-свободным).

Согласно теореме Мантеля (частный случай теоремы Турана), если граф с $n$ вершинами не содержит треугольников, то его множество вершин можно разбить на два подмножества $S_1$ и $S_2$ ($S = S_1 \cup S_2$ и $S_1 \cap S_2 = \emptyset$) таким образом, что ни одна пара вершин внутри $S_1$ и ни одна пара вершин внутри $S_2$ не соединены ребром. Такой граф является подграфом полного двудольного графа.

Применим этот результат к нашему случаю, где $n=25$. Множество $S$ можно разбить на два подмножества $S_1$ и $S_2$. Отсутствие рёбер внутри этих подмножеств означает:

• Для любых двух различных точек $A, B \in S_1$ расстояние $d(A, B) < 1$.
• Для любых двух различных точек $C, D \in S_2$ расстояние $d(C, D) < 1$.

Поскольку $|S_1| + |S_2| = 25$, согласно принципу Дирихле, по крайней мере одно из этих подмножеств должно содержать не менее $\lceil \frac{25}{2} \rceil = 13$ точек.

Предположим, без ограничения общности, что $|S_1| \ge 13$. Таким образом, мы имеем подмножество $S_1$, состоящее как минимум из 13 точек, в котором расстояние между любыми двумя точками меньше 1.

Выберем любую точку $P_0$ из этого подмножества $S_1$. Рассмотрим круг (окружность и её внутреннюю часть) с центром в точке $P_0$ и радиусом, равным 1. Для любой другой точки $P$ из множества $S_1$ расстояние $d(P_0, P) < 1$. Это означает, что любая точка $P \in S_1$ лежит внутри этого круга. Следовательно, весь набор точек $S_1$ содержится в круге единичного радиуса с центром в $P_0$.

Таким образом, мы доказали существование окружности (круга) единичного радиуса, которая содержит не менее 13 из данных 25 точек.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

448. На плоскости отметили 25 точек так, что среди любых трёх из них найдутся две точки, расстояние между которыми меньше единицы. Докажите, что существует окружность единичного радиуса, которая содержит не менее 13 данных точек.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).