Номер 446, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 446, страница 92.

Условие 2023.

446. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, угол $AOD$ на $60^\circ$ больше угла $AOB$, $AC = 24 \text{ см}$. Найдите периметр треугольника $COD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.Углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$ являются смежными, так как точки $B, O, D$ лежат на одной прямой (диагонали $BD$). Сумма смежных углов равна $180^\circ$.Следовательно, мы можем составить уравнение:$\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ$

По условию задачи, $\angle AOD$ на $60^\circ$ больше $\angle AOB$, то есть $\angle AOD = \angle AOB + 60^\circ$.Подставим это выражение в первое уравнение:$\angle AOB + (\angle AOB + 60^\circ) = 180^\circ$$2 \cdot \angle AOB + 60^\circ = 180^\circ$$2 \cdot \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ$$2 \cdot \angle AOB = 120^\circ$$\angle AOB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ являются вертикальными углами, образованными пересечением диагоналей $AC$ и $BD$. Вертикальные углы равны, поэтому:$\angle COD = \angle AOB = 60^\circ$

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.Значит, $AO = OC = BO = OD$.Поскольку длина диагонали $AC = 24$ см, то ее половины равны:$OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $COD$. Мы знаем длины двух его сторон ($OC = 12$ см и $OD = 12$ см) и угол между ними ($\angle COD = 60^\circ$).Поскольку две стороны треугольника $COD$ равны ($OC=OD$), он является равнобедренным.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Углы при основании $CD$ равны:$\angle OCD = \angle ODC = \frac{180^\circ - \angle COD}{2} = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Так как все три угла треугольника $COD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны:$CD = OC = OD = 12$ см.

Периметр треугольника $COD$ — это сумма длин его сторон:$P_{COD} = CO + OD + CD = 12 + 12 + 12 = 36$ см.

Ответ: 36 см.

Условие 2015-2022.

446. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, угол $\angle AOD$ на $60^\circ$ больше угла $\angle AOB$, $AC = 24$ см.
Найдите периметр треугольника $\triangle COD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).