Номер 464, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 464, страница 96.

Условие 2023.

464. В трапеции $ABCD (BC \parallel AD)$ известно, что $AD = 18 \text{ см}$, $BC = 14 \text{ см}$, $AC = 24 \text{ см}$. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит диагональ $AC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, где $BC \parallel AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По условию задачи имеем:

• $AD = 18$ см (большее основание)
• $BC = 14$ см (меньшее основание)
• $AC = 24$ см (длина диагонали)

Необходимо найти длины отрезков $AO$ и $OC$, на которые точка $O$ делит диагональ $AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.

Поскольку $BC \parallel AD$ (основания трапеции), то:

• $\angle OCB = \angle OAD$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$.
• $\angle OBC = \angle ODA$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущей $BD$.

Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}$

Нас интересует отношение отрезков диагонали $AC$, поэтому используем первую и третью части пропорции:

$\frac{AO}{CO} = \frac{AD}{BC}$

Подставим известные значения оснований:

$\frac{AO}{CO} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$

Это означает, что отрезки $AO$ и $CO$ относятся как $9:7$.

Пусть длина отрезка $CO$ равна $7x$, тогда длина отрезка $AO$ будет равна $9x$.

Сумма длин этих отрезков равна длине всей диагонали $AC$:

$AO + CO = AC$

$9x + 7x = 24$

$16x = 24$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Теперь найдем длины искомых отрезков:

$CO = 7x = 7 \cdot 1.5 = 10.5$ см.

$AO = 9x = 9 \cdot 1.5 = 13.5$ см.

Проверим: $10.5 + 13.5 = 24$ см, что соответствует длине диагонали $AC$.

Ответ: 13,5 см и 10,5 см.

Условие 2015-2022.

464. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) известно, что $AD = 18$ см, $BC = 14$ см, $AC = 24$ см. Найдите отрезки, на которые диагональ $AC$ делится точкой пересечения диагоналей.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).