Номер 469, страница 97 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 469, страница 97.

Условие 2023.

469. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а больший катет – 16 см. Найдите отрезки, на которые серединный перпендикуляр гипотенузы делит больший катет.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Гипотенуза $AB = 20$ см, а больший катет, пусть это будет $AC$, равен $AC = 16$ см.

Проведем серединный перпендикуляр к гипотенузе $AB$. Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$. Тогда $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см. Серединный перпендикуляр проходит через точку $M$ и перпендикулярен гипотенузе $AB$. Пусть этот перпендикуляр пересекает больший катет $AC$ в точке $K$. Точка $K$ делит катет $AC$ на два отрезка: $AK$ и $KC$. Нам нужно найти длины этих отрезков.

Рассмотрим треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle ABC$.

• Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
• Треугольник $\triangle ABC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$.
• Поскольку $MK$ — серединный перпендикуляр к $AB$, то $MK \perp AB$, следовательно, угол $\angle AMK = 90^\circ$.

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle A$ — общий, $\angle AMK = \angle ACB = 90^\circ$), то треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle ABC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:$ \frac{AK}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{KM}{BC} $

Для нахождения длины отрезка $AK$ воспользуемся первой частью пропорции:$ \frac{AK}{AB} = \frac{AM}{AC} $Подставим известные значения:$ \frac{AK}{20} = \frac{10}{16} $Выразим $AK$:$ AK = 20 \cdot \frac{10}{16} = \frac{200}{16} = \frac{50}{4} = 12.5 $ см.

Теперь найдем длину второго отрезка $KC$. Точка $K$ лежит на катете $AC$, поэтому $AC = AK + KC$.$ KC = AC - AK = 16 - 12.5 = 3.5 $ см.

Таким образом, серединный перпендикуляр гипотенузы делит больший катет на отрезки длиной 12,5 см и 3,5 см.

Ответ: 12,5 см и 3,5 см.

Условие 2015-2022.

469. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а больший катет – 16 см. Найдите отрезки, на которые серединный перпендикуляр гипотенузы делит больший катет.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).