Номер 436, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 436, страница 90.

Условие 2023.

436. Точки $M$ и $K$ – середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Пользуясь определением подобных треугольников, докажите, что $\triangle MDK \sim \triangle BCD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По определению, два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Чтобы доказать, что $△MDK \sim △BCD$ согласно определению, необходимо проверить выполнение этих двух условий.

1. Сравнение углов.

Поскольку $ABCD$ — квадрат, все его углы прямые ($∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90^\circ$) и все стороны равны ($AB=BC=CD=AD$).

Рассмотрим $△BCD$. Угол $∠BCD = 90^\circ$. Так как $BC=CD$ (стороны квадрата), то $△BCD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при его основании (гипотенузе $BD$) равны:$∠CBD = ∠CDB = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Рассмотрим $△MDK$. Угол $∠MDK$ является углом $∠D$ квадрата, поэтому $∠MDK = 90^\circ$. Точка $M$ — середина стороны $CD$, а точка $K$ — середина стороны $AD$. Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда $CD = AD = a$.Длины катетов $△MDK$ равны:$MD = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$$DK = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$Поскольку катеты $MD$ и $DK$ равны, $△MDK$ также является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при его основании (гипотенузе $MK$) равны:$∠DMK = ∠DKM = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Сравнивая соответствующие углы треугольников $△MDK$ и $△BCD$, получаем:$∠MDK = ∠BCD = 90^\circ$$∠DKM = ∠CDB = 45^\circ$$∠DMK = ∠CBD = 45^\circ$Таким образом, все соответствующие углы треугольников равны. Первое условие подобия выполняется.

2. Проверка пропорциональности сторон.

Теперь проверим пропорциональность сходственных сторон. Сходственными сторонами являются стороны, лежащие против равных углов.Соответствие сторон: $MD \leftrightarrow BC$, $DK \leftrightarrow CD$, $MK \leftrightarrow BD$.Проверим равенство отношений: $\frac{MD}{BC} = \frac{DK}{CD} = \frac{MK}{BD}$.

Мы уже установили, что если сторона квадрата равна $a$, то:$BC = a$, $CD = a$, $MD = \frac{a}{2}$, $DK = \frac{a}{2}$.

Найдем длины гипотенуз по теореме Пифагора:Для $△BCD$: $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.Для $△MDK$: $MK = \sqrt{MD^2 + DK^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Вычислим отношения длин сторон:$\frac{MD}{BC} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$$\frac{DK}{CD} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$$\frac{MK}{BD} = \frac{a\sqrt{2}/2}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

Все отношения равны $\frac{1}{2}$, следовательно, стороны треугольников пропорциональны. Второе условие подобия также выполняется.

Поскольку соответствующие углы треугольников $△MDK$ и $△BCD$ равны, а их соответствующие стороны пропорциональны, по определению эти треугольники подобны.

Ответ: Утверждение доказано. В треугольниках $△MDK$ и $△BCD$ соответствующие углы равны ($90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$) и соответствующие стороны пропорциональны с коэффициентом $\frac{1}{2}$, следовательно, по определению они подобны: $△MDK \sim △BCD$.

Условие 2015-2022.

436. Точки $M$ и $K$ – середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Пользуясь определением подобных треугольников, докажите, что $\triangle MDK \sim \triangle BCD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).