Номер 432, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 432, страница 90.

Условие 2023.

432. Найдите высоту вышки (рис. 148), если расстояния от наблюдателя до шеста и до вышки соответственно равны 1,5 и 39 м, высота шеста — 3 м, а рост наблюдателя — 1,8 м.

Рис. 148

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи воспользуемся методом подобных треугольников. На рисунке можно увидеть два прямоугольных треугольника, образованных линией взгляда наблюдателя.

Обозначим:

• $h_{н}$ – рост наблюдателя = 1,8 м.
• $h_{ш}$ – высота шеста = 3 м.
• $d_{ш}$ – расстояние от наблюдателя до шеста = 1,5 м.
• $d_{в}$ – расстояние от наблюдателя до вышки = 39 м.
• $H_{в}$ – искомая высота вышки.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Первый (меньший) треугольник образуется на уровне глаз наблюдателя. Его катеты:

1. Горизонтальный катет – расстояние от наблюдателя до шеста: $d_{ш} = 1,5$ м.
2. Вертикальный катет – высота шеста над уровнем глаз наблюдателя: $h'_{ш} = h_{ш} - h_{н} = 3 - 1,8 = 1,2$ м.

Второй (больший) треугольник также образуется на уровне глаз наблюдателя. Его катеты:

1. Горизонтальный катет – расстояние от наблюдателя до вышки: $d_{в} = 39$ м.
2. Вертикальный катет – высота вышки над уровнем глаз наблюдателя. Обозначим эту высоту как $H'_{в}$.

Эти два треугольника подобны по двум углам (один угол общий у вершины, где находится глаз наблюдателя, а вторые углы – прямые).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих катетов равно:

$\frac{h'_{ш}}{H'_{в}} = \frac{d_{ш}}{d_{в}}$

Подставим известные значения в эту пропорцию:

$\frac{1,2}{H'_{в}} = \frac{1,5}{39}$

Теперь выразим и найдем $H'_{в}$:

$H'_{в} = \frac{1,2 \times 39}{1,5}$

$H'_{в} = \frac{46,8}{1,5} = 31,2$ м.

Это высота вышки над уровнем глаз наблюдателя. Чтобы найти полную высоту вышки ($H_{в}$), нужно к этой величине прибавить рост наблюдателя:

$H_{в} = H'_{в} + h_{н} = 31,2 + 1,8 = 33$ м.

Ответ: 33 м.

Условие 2015-2022.

432. Найдите высоту вышки (рис. 136), если расстояния от наблюдателя до шеста и вышки соответственно равны 1,5 м и 39 м, высота шеста – 3 м, а рост наблюдателя – 1,8 м.

Рис. 136

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).