Номер 431, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 431, страница 90.

Условие 2023.

431. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 6 \text{ см}$. Через точку $M$ стороны $AB$ проведена прямая, которая параллельна стороне $BC$ и пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Найдите неизвестные стороны треугольника $ABC$, если $AM = 4 \text{ см}$, $MK = 8 \text{ см}$, $AK = 9 \text{ см}$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи в треугольнике $ABC$ проведена прямая через точку $M$ на стороне $AB$, которая параллельна стороне $BC$ и пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Следовательно, $MK \parallel BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle ABC$.

Поскольку прямая $MK$ параллельна прямой $BC$, то по теореме о подобных треугольниках, треугольник $AMK$ подобен треугольнику $ABC$. Докажем это по двум углам:

• $\angle A$ — является общим углом для обоих треугольников.
• $\angle AMK$ и $\angle ABC$ — являются соответственными углами при параллельных прямых $MK$ и $BC$ и секущей $AB$. Следовательно, $\angle AMK = \angle ABC$.

Так как $\triangle AMK \sim \triangle ABC$, их стороны пропорциональны:

$\frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC} = \frac{MK}{BC}$

Подставим известные значения в данную пропорцию: $AB = 6$ см, $AM = 4$ см, $AK = 9$ см, $MK = 8$ см.

Необходимо найти длины сторон $AC$ и $BC$.

1. Найдем сторону $AC$:

$\frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC}$

$\frac{4}{6} = \frac{9}{AC}$

Выразим $AC$ из этого уравнения:

$AC = \frac{9 \cdot 6}{4} = \frac{54}{4} = 13,5$ см.

2. Найдем сторону $BC$:

$\frac{AM}{AB} = \frac{MK}{BC}$

$\frac{4}{6} = \frac{8}{BC}$

Выразим $BC$ из этого уравнения:

$BC = \frac{8 \cdot 6}{4} = \frac{48}{4} = 12$ см.

Таким образом, неизвестные стороны треугольника $ABC$ — это $AC$ и $BC$.

Ответ: $AC = 13,5$ см, $BC = 12$ см.

Условие 2015-2022.

431. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 6$ см. Через точку $M$ стороны $AB$ проведена прямая, которая параллельна стороне $BC$ и пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Найдите неизвестные стороны треугольника $ABC$, если $AM = 4$ см, $MK = 8$ см, $AK = 9$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).