Номер 434, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 434, страница 90.

Условие 2023.

434. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите меньшее основание трапеции, если большее основание $AD$ равно $42$ см, $AB = 9$ см, $BM = 54$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По условию, $AD$ является большим основанием, следовательно $BC$ — меньшее основание. Из этого следует, что основания трапеции параллельны: $BC \parallel AD$.

Рассмотрим два треугольника, образовавшихся в результате построения: $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$.

Поскольку $BC \parallel AD$, а прямая $AM$ является секущей для этих параллельных прямых, то соответственные углы при параллельных прямых равны: $\angle MBC = \angle MAD$.

Угол $\angle M$ является общим для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$ подобны по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно: $ \frac{BC}{AD} = \frac{MB}{MA} $

По условию задачи нам даны следующие длины:

• Большее основание $AD = 42$ см.
• Боковая сторона $AB = 9$ см.
• Отрезок $BM = 54$ см.

Так как точка $M$ является точкой пересечения продолжений сторон $AB$ и $CD$, то точка $B$ лежит на отрезке $MA$. Длина стороны $MA$ треугольника $\triangle MAD$ равна сумме длин отрезков $MB$ и $AB$: $ MA = MB + AB = 54 + 9 = 63 $ см.

Теперь, зная все необходимые величины, мы можем найти длину меньшего основания $BC$, подставив значения в пропорцию: $ \frac{BC}{42} = \frac{54}{63} $

Выразим $BC$: $ BC = 42 \cdot \frac{54}{63} $

Для упрощения вычислений сократим дробь $\frac{54}{63}$ на 9: $ \frac{54}{63} = \frac{6}{7} $

Подставим сокращенную дробь обратно в формулу и вычислим $BC$: $ BC = 42 \cdot \frac{6}{7} = \frac{42 \cdot 6}{7} = 6 \cdot 6 = 36 $ см.

Ответ: 36 см.

Условие 2015-2022.

434. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите меньшее основание трапеции, если большее основание $AD$ равно 42 см, $AB = 9$ см, $BM = 54$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).