Номер 429, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 429, страница 90.

Условие 2023.

429. На рисунке 147 $AB \parallel CD$. Найдите на этом рисунке подобные треугольники. Запишите пропорции, которые начинаются с отношения:

1) $\frac{AE}{CE}$;

2) $\frac{CD}{AB}$;

3) $\frac{AB}{AE}$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Сначала найдем подобные треугольники на рисунке. Рассмотрим треугольники $ \triangle ABE $ и $ \triangle CDE $.

По условию задачи, прямые $ AB $ и $ CD $ параллельны ($ AB \parallel CD $).

• Угол $ \angle E $ является общим для обоих треугольников.
• Углы $ \angle BAE $ и $ \angle DCE $ являются соответственными при параллельных прямых $ AB $ и $ CD $ и секущей $ AE $, следовательно, они равны: $ \angle BAE = \angle DCE $.

Таким образом, треугольники $ \triangle ABE $ и $ \triangle CDE $ подобны по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников ($ \triangle ABE \sim \triangle CDE $) следует пропорциональность их соответственных сторон:

$ \frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} $

Используя это fundamentalьное соотношение, запишем требуемые пропорции.

1) $\frac{AE}{CE}$;
Из основного соотношения пропорциональности сторон мы можем приравнять данное отношение к любому другому отношению соответственных сторон.

Ответ: $ \frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE} $

2) $\frac{CD}{AB}$;
Это отношение является обратным к отношению $ \frac{AB}{CD} $ из основного соотношения. Чтобы составить верную пропорцию, необходимо взять обратные отношения и для других пар сторон.

Ответ: $ \frac{CD}{AB} = \frac{CE}{AE} $

3) $\frac{AB}{AE}$.
Данное отношение связывает две стороны в треугольнике $ \triangle ABE $. В подобном ему треугольнике $ \triangle CDE $ соответственными сторонами являются $ CD $ и $ CE $. Следовательно, отношение этих сторон будет таким же.

Ответ: $ \frac{AB}{AE} = \frac{CD}{CE} $

Условие 2015-2022.

Рис. 135

429. На рисунке 135 $AB \parallel CD$. Найдите на этом рисунке подобные треугольники. Запишите пропорции, которые начинаются с отношения:

1) $\frac{AE}{CE}$;

2) $\frac{CD}{AB}$;

3) $\frac{AB}{AE}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).