Номер 113, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Решение текстовых задач с использованием систем нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 113, страница 38.

Условие.

113. Разность длин ребер двух кубов равна $3 \text{ дм}$, а разность их объемов равна $117 \text{ дм}^3$. Найдите длины ребер этих кубов.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $a$ — длина ребра большего куба, а $b$ — длина ребра меньшего куба в дециметрах (дм). По условию задачи, $a > b$.

Из условия, что разность длин ребер равна 3 дм, составим первое уравнение: $a - b = 3$

Объем куба с ребром $x$ вычисляется по формуле $V = x^3$. Разность объемов двух кубов равна 117 дм³. Составим второе уравнение: $a^3 - b^3 = 117$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

1. $a - b = 3$

2. $a^3 - b^3 = 117$

Для решения системы воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Подставим в эту формулу известные значения из наших уравнений: $117 = 3 \cdot (a^2 + ab + b^2)$

Разделим обе части уравнения на 3: $a^2 + ab + b^2 = 39$

Теперь у нас есть более простая система: $a - b = 3$ и $a^2 + ab + b^2 = 39$.

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$: $a = b + 3$.

Подставим это выражение в уравнение $a^2 + ab + b^2 = 39$: $(b + 3)^2 + (b + 3)b + b^2 = 39$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $(b^2 + 6b + 9) + (b^2 + 3b) + b^2 = 39$ $3b^2 + 9b + 9 = 39$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $3b^2 + 9b + 9 - 39 = 0$ $3b^2 + 9b - 30 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения: $b^2 + 3b - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем корни с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Корни уравнения: $b_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$ $b_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку длина ребра куба $b$ не может быть отрицательной величиной, корень $b_2 = -5$ не является решением задачи. Следовательно, длина ребра меньшего куба равна 2 дм.

Теперь найдем длину ребра большего куба $a$: $a = b + 3 = 2 + 3 = 5$ дм.

Проверим найденные значения: Разность длин ребер: $5 - 2 = 3$ дм. Разность объемов: $5^3 - 2^3 = 125 - 8 = 117$ дм³. Все условия задачи выполнены.

Ответ: длины ребер кубов равны 2 дм и 5 дм.