Номер 120, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Решение текстовых задач с использованием систем нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 120, страница 39.

Условие.

120. Буксир преодолевает путь между двумя пристанями (туда и обратно), расположенными на берегу реки, за 8 ч 40 мин. Катер, собственная скорость которого в 2 раза больше, тратит на такой же путь на 4 ч 40 мин меньше, чем буксир. Во сколько раз собственная скорость буксира больше скорости течения реки?

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим переменные:

$S$ – расстояние между пристанями в одну сторону (в км).

$v_б$ – собственная скорость буксира (в км/ч).

$v_р$ – скорость течения реки (в км/ч).

$v_к$ – собственная скорость катера (в км/ч).

Согласно условию, собственная скорость катера в 2 раза больше собственной скорости буксира, то есть $v_к = 2v_б$.

Переведем общее время, затраченное буксиром и катером, в часы.

Время буксира: $T_б = 8 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 8 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 8 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{24+2}{3} = \frac{26}{3}$ ч.

Катер тратит на тот же путь на 4 ч 40 мин меньше, чем буксир. Следовательно, время катера:

$T_к = T_б - (4 \text{ ч } 40 \text{ мин}) = \frac{26}{3} \text{ ч} - (4 + \frac{2}{3}) \text{ ч} = \frac{26}{3} - \frac{14}{3} = \frac{12}{3} = 4$ ч.

Время, затраченное на путь туда и обратно, складывается из времени движения по течению и времени движения против течения. Общая формула времени: $T = \frac{S}{v_{по\;течению}} + \frac{S}{v_{против\;течения}}$.

Для буксира уравнение времени выглядит так:

$T_б = \frac{S}{v_б + v_р} + \frac{S}{v_б - v_р}$

Подставим значение $T_б$ и приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{26}{3} = S \left( \frac{v_б - v_р + v_б + v_р}{(v_б + v_р)(v_б - v_р)} \right) = S \frac{2v_б}{v_б^2 - v_р^2}$ (1)

Для катера, с учетом того что $v_к = 2v_б$, уравнение времени выглядит так:

$T_к = \frac{S}{v_к + v_р} + \frac{S}{v_к - v_р} = \frac{S}{2v_б + v_р} + \frac{S}{2v_б - v_р}$

Подставим значение $T_к$ и приведем правую часть к общему знаменателю:

$4 = S \left( \frac{2v_б - v_р + 2v_б + v_р}{(2v_б + v_р)(2v_б - v_р)} \right) = S \frac{4v_б}{(2v_б)^2 - v_р^2} = S \frac{4v_б}{4v_б^2 - v_р^2}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Чтобы найти искомое отношение $\frac{v_б}{v_р}$, разделим уравнение (1) на уравнение (2). Это позволит нам исключить неизвестную величину $S$.

$\frac{26/3}{4} = \frac{S \frac{2v_б}{v_б^2 - v_р^2}}{S \frac{4v_б}{4v_б^2 - v_р^2}}$

Упростим левую часть и правую часть (сократив $S$ и $v_б$):

$\frac{26}{12} = \frac{2}{v_б^2 - v_р^2} \cdot \frac{4v_б^2 - v_р^2}{4}$

Сократим дроби:

$\frac{13}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4v_б^2 - v_р^2}{v_б^2 - v_р^2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\frac{13}{3} = \frac{4v_б^2 - v_р^2}{v_б^2 - v_р^2}$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на знаменатель $v_б^2 - v_р^2$:

$13(v_б^2 - v_р^2) = 3(4v_б^2 - v_р^2)$

$13v_б^2 - 13v_р^2 = 12v_б^2 - 3v_р^2$

Сгруппируем подобные члены:

$13v_б^2 - 12v_б^2 = 13v_р^2 - 3v_р^2$

$v_б^2 = 10v_р^2$

Чтобы найти, во сколько раз собственная скорость буксира больше скорости течения реки, найдем отношение $\frac{v_б}{v_р}$. Для этого разделим обе части на $v_р^2$:

$\frac{v_б^2}{v_р^2} = 10$

Извлечем квадратный корень из обеих частей (скорости — величины положительные):

$\frac{v_б}{v_р} = \sqrt{10}$

Ответ: собственная скорость буксира больше скорости течения реки в $\sqrt{10}$ раз.