Номер 116, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Решение текстовых задач с использованием систем нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 116, страница 38.

Условие.

116. Если к сумме цифр двузначного числа прибавить квадратный корень из их произведения, то получится 14. Если же от этой суммы отнять указанный корень, то получится 6. Что это за число? Исследуйте все возможные случаи.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомое двузначное число состоит из цифр $a$ и $b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно определению двузначного числа, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Сумма цифр этого числа равна $a+b$. Произведение его цифр равно $ab$.

На основе условий задачи составим систему уравнений.
Первое условие: «Если к сумме цифр двузначного числа прибавить квадратный корень из их произведения, то получится 14». Это записывается как: $ (a+b) + \sqrt{ab} = 14 $

Второе условие: «Если же от этой суммы отнять указанный корень, то получится 6». Это записывается как: $ (a+b) - \sqrt{ab} = 6 $

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными выражениями: $(a+b)$ и $\sqrt{ab}$. Для удобства решения введем замены: пусть $S = a+b$ и $P = \sqrt{ab}$.

Система уравнений в новых переменных имеет вид: $ \begin{cases} S + P = 14 \\ S - P = 6 \end{cases} $

Сложим оба уравнения системы: $ (S+P) + (S-P) = 14 + 6 $ $ 2S = 20 $ $ S = 10 $

Подставим найденное значение $S=10$ в первое уравнение системы, чтобы найти $P$: $ 10 + P = 14 $ $ P = 4 $

Теперь вернемся к исходным переменным $a$ и $b$. Мы нашли, что:
Сумма цифр: $a+b = S = 10$.
Корень из произведения цифр: $\sqrt{ab} = P = 4$.

Из второго равенства, возведя обе части в квадрат, найдем произведение цифр: $ ab = 4^2 = 16 $

Таким образом, задача свелась к поиску двух цифр $a$ и $b$, для которых выполняются два условия: $ \begin{cases} a+b = 10 \\ ab = 16 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 10t + 16 = 0$.

Решим это уравнение. Можно легко найти корни подбором: это числа 2 и 8, так как их сумма равна 10 ($2+8=10$), а их произведение равно 16 ($2 \times 8=16$). Значит, искомые цифры — это 2 и 8.

В задаче требуется исследовать все возможные случаи. Поскольку мы нашли пару цифр {2, 8}, возможны два двузначных числа, составленных из них:
1. Первым случаем является число, у которого цифра десятков $a=2$, а цифра единиц $b=8$. Это число 28.
2. Вторым случаем является число, у которого цифра десятков $a=8$, а цифра единиц $b=2$. Это число 82.

Оба числа удовлетворяют условиям, так как в обоих случаях сумма цифр равна 10, а произведение — 16. Проверим: $10 + \sqrt{16} = 10 + 4 = 14$ (верно). $10 - \sqrt{16} = 10 - 4 = 6$ (верно).

Ответ: 28 и 82.